Давайте решим эту задачу шаг за шагом.
Обозначим скорость второго автомобиля как ( v ) км/ч. Тогда скорость первого автомобиля будет ( v + 10 ) км/ч, поскольку он едет на 10 км/ч быстрее.
Оба автомобиля проезжают одно и то же расстояние в 560 км. Время, которое затрачивает каждый автомобиль, можно выразить с помощью формулы времени ( t = \frac{s}{v} ), где ( s ) — расстояние, а ( v ) — скорость.
Время, затраченное вторым автомобилем на поездку, будет:
[
t_2 = \frac{560}{v}
]
Время, затраченное первым автомобилем:
[
t_1 = \frac{560}{v + 10}
]
Согласно условию задачи, первый автомобиль приходит к финишу на 1 час раньше второго:
[
t_2 - t_1 = 1
]
Подставим выражения для времени в это равенство:
[
\frac{560}{v} - \frac{560}{v + 10} = 1
]
Теперь, чтобы решить это уравнение, найдём общий знаменатель и упростим его:
[
\frac{560(v + 10) - 560v}{v(v + 10)} = 1
]
[
\frac{5600}{v(v + 10)} = 1
]
Теперь умножим обе стороны уравнения на ( v(v + 10) ):
[
5600 = v(v + 10)
]
[
5600 = v^2 + 10v
]
Это уравнение можно привести к стандартному виду:
[
v^2 + 10v - 5600 = 0
]
Теперь мы можем использовать формулу дискриминанта для решения квадратного уравнения:
[
D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5600) = 100 + 22400 = 22500
]
Вычисляем корни уравнения с помощью формулы:
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm 150}{2}
]
Теперь находим два возможных решения:
- ( v = \frac{140}{2} = 70 )
- ( v = \frac{-160}{2} = -80 ) (это решение не подходит, так как скорость не может быть отрицательной)
Таким образом, скорость второго автомобиля ( v = 70 ) км/ч.
Теперь найдем скорость первого автомобиля:
[
v + 10 = 70 + 10 = 80 , \text{км/ч}.
]
Итак, скорость первого автомобиля составляет 80 км/ч.
