Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим переменные для скоростей поездов:
- Пусть скорость скорого поезда будет ( v ) км/ч.
- Тогда скорость товарного поезда будет ( v - 0,75 ) км/ч, так как товарный поезд проходит на 750 метров меньше за одну минуту.
Теперь мы знаем, что путь составляет 180 км. Время, которое тратит скорый поезд на этот путь, можно выразить как:
[
t_{скорого} = \frac{180}{v}
]
А время, которое тратит товарный поезд, можно выразить как:
[
t_{товарного} = \frac{180}{v - 0,75}
]
Согласно условию задачи, товарный поезд тратит на 2 часа больше времени, чем скорый. Это можно записать как:
[
t_{товарного} = t_{скорого} + 2
]
Теперь подставим выражения для времени:
[
\frac{180}{v - 0,75} = \frac{180}{v} + 2
]
Чтобы решить это уравнение, умножим обе стороны на ( v(v - 0,75) ) для устранения дробей:
[
180v = 180(v - 0,75) + 2v(v - 0,75)
]
Раскроем скобки:
[
180v = 180v - 135 + 2v^2 - 1,5v
]
Сократим ( 180v ) с обеих сторон:
[
0 = -135 + 2v^2 - 1,5v
]
Перепишем уравнение:
[
2v^2 - 1,5v - 135 = 0
]
Для удобства умножим все на 2, чтобы избавиться от дробей:
[
4v^2 - 3v - 270 = 0
]
Теперь применим дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 * 4 * (-270) = 9 + 4320 = 4329
]
Теперь найдем корни уравнения:
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{4329}}{8}
]
Выразим корень:
[
\sqrt{4329} \approx 65.8
]
Подставим значение дискриминанта:
[
v = \frac{3 \pm 65.8}{8}
]
Это дает два значения:
- ( v_1 \approx \frac{68.8}{8} \approx 8.6 ) км/ч (скорость скорого поезда)
- ( v_2 \approx \frac{-62.8}{8} ), которое не имеет физического смысла, так как скорость не может быть отрицательной.
Теперь найдем скорость товарного поезда:
[
v_{товарного} = v - 0,75 \approx 8.6 - 0.75 = 7.85 \text{ км/ч}
]
Таким образом, скорость товарного поезда составляет примерно 7.85 км/ч.
