Найдите вероятность того, что случайно выбранное натуральное число n , удовлетворяющее условию 490 ≤ n ≤ 985 делится на 21 .
Для нахождения вероятности того, что случайно выбранное натуральное число \( n \), удовлетворяющее условию \( 490 \leq n \leq 985 \), делится на \( 21 \), воспользуемся следующими шагами:
Определение диапазона: Найдем количество натуральных чисел в заданном диапазоне от \( 490 \) до \( 985 \). \[ n_{\text{всего}} = 985 - 490 + 1 = 496 \]
Найдем числа, делящиеся на \( 21 \): Для этого нам нужно определить минимальное и максимальное натуральные числа в этом диапазоне, которые делятся на \( 21 \).
Минимальное число: Для нахождения минимального числа, делящегося на \( 21 \), начиная с \( 490 \), мы можем использовать следующую формулу: \[ n_{\text{min}} = \lceil \frac{490}{21} \rceil \times 21 \] Вычислим: \[ \frac{490}{21} \approx 23.333 \implies \lceil 23.333 \rceil = 24 \implies n_{\text{min}} = 24 \times 21 = 504 \]
Максимальное число: Для нахождения максимального числа, делящегося на \( 21 \), начинающегося с \( 985 \): \[ n_{\text{max}} = \lfloor \frac{985}{21} \rfloor \times 21 \] Вычислим: \[ \frac{985}{21} \approx 46.905 \implies \lfloor 46.905 \rfloor = 46 \implies n_{\text{max}} = 46 \times 21 = 966 \]
Расчет количества чисел: Теперь мы знаем, что первыми числами, делящимися на \( 21 \), являются \( 504, 525, 546, \ldots, 966 \). Это арифметическая прогрессия, где:
- Первый элемент \( a = 504 \)
- Последний элемент \( l = 966 \)
- Разность \( d = 21 \)
Количество членов \( k \) в этой прогрессии можно найти по формуле: \[ k = \frac{l - a}{d} + 1 \] Подставляем значения: \[ k = \frac{966 - 504}{21} + 1 = \frac{462}{21} + 1 = 22 + 1 = 23 \]
Вероятность: Теперь мы можем вычислить вероятность выбора числа, делящегося на \( 21 \): \[ P = \frac{чисел, делящихся на 21}{всего чисел} = \frac{23}{496} \]
Таким образом, вероятность того, что случайно выбранное натуральное число \( n \), удовлетворяющее условию \( 490 \leq n \leq 985 \), делится на \( 21 \), равна \( \frac{23}{496} \).
