Чтобы найти наибольший делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) чисел ( a ) и ( b ), представленных в форме произведения простых чисел, следует использовать их разложения.
Даны числа:
[
a = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2
]
[
b = 2^4 \cdot 3^1 \cdot 5^1
]
1. Находим наибольший делитель (НОД):
Для нахождения НОД берем минимальные степени каждого из простых множителей:
- Для числа 2: минимальная степень между ( 3 ) (из ( a )) и ( 4 ) (из ( b )) — это ( 2^3 ).
- Для числа 3: минимальная степень между ( 2 ) (из ( a )) и ( 1 ) (из ( b )) — это ( 3^1 ).
- Для числа 5: минимальная степень между ( 2 ) (из ( a )) и ( 1 ) (из ( b )) — это ( 5^1 ).
Таким образом, НОД:
[
\text{НОД}(a,b) = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 8 \cdot 3 \cdot 5 = 120.
]
2. Находим наименьшее общее кратное (НОК):
Для нахождения НОК берем максимальные степени каждого из простых множителей:
- Для числа 2: максимальная степень между ( 3 ) и ( 4 ) — это ( 2^4 ).
- Для числа 3: максимальная степень между ( 2 ) и ( 1 ) — это ( 3^2 ).
- Для числа 5: максимальная степень между ( 2 ) и ( 1 ) — это ( 5^2 ).
Таким образом, НОК:
[
\text{НОК}(a,b) = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^2 = 16 \cdot 9 \cdot 25.
]
Посчитаем далее:
[
16 \cdot 9 = 144,
]
[
144 \cdot 25 = 3600.
]
Итак, НОД и НОК для данных чисел следующие:
- НОД(a, b) = 120.
- НОК(a, b) = 3600.
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно разъяснить какой-либо этап, не стесняйтесь спрашивать!
