найдите наибольший делитель и наименьшее общее кратное чисел а и б если а=2³•3²•5² и б=2⁴•3•5
Чтобы найти наибольший делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) чисел \( a \) и \( b \), представленных в форме произведения простых чисел, следует использовать их разложения.
Даны числа: \[ a = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \] \[ b = 2^4 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \]
1. Находим наибольший делитель (НОД):
Для нахождения НОД берем минимальные степени каждого из простых множителей:
- Для числа 2: минимальная степень между \( 3 \) (из \( a \)) и \( 4 \) (из \( b \)) — это \( 2^3 \).
- Для числа 3: минимальная степень между \( 2 \) (из \( a \)) и \( 1 \) (из \( b \)) — это \( 3^1 \).
- Для числа 5: минимальная степень между \( 2 \) (из \( a \)) и \( 1 \) (из \( b \)) — это \( 5^1 \).
Таким образом, НОД: \[ \text{НОД}(a,b) = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 8 \cdot 3 \cdot 5 = 120. \]
2. Находим наименьшее общее кратное (НОК):
Для нахождения НОК берем максимальные степени каждого из простых множителей:
- Для числа 2: максимальная степень между \( 3 \) и \( 4 \) — это \( 2^4 \).
- Для числа 3: максимальная степень между \( 2 \) и \( 1 \) — это \( 3^2 \).
- Для числа 5: максимальная степень между \( 2 \) и \( 1 \) — это \( 5^2 \).
Таким образом, НОК: \[ \text{НОК}(a,b) = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^2 = 16 \cdot 9 \cdot 25. \]
Посчитаем далее: \[ 16 \cdot 9 = 144, \] \[ 144 \cdot 25 = 3600. \]
Итак, НОД и НОК для данных чисел следующие:
- НОД(a, b) = 120.
- НОК(a, b) = 3600.
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно разъяснить какой-либо этап, не стесняйтесь спрашивать!
