В равностороннем треугольнике ABC AB=2. Отрезок BD перпендикулярен плоскости треугольника и равен √6. Найдите площадь треугольника ADC.
Чтобы найти площадь треугольника ADC в данной задаче, стоит использовать свойства равностороннего треугольника и формулу для нахождения площади.
1. **Определим координаты точек треугольника ABC**. Поскольку треугольник равносторонний и AB = 2, уместно взять:
- \( A(0, 0, 0) \)
- \( B(2, 0, 0) \)
- Чтобы найти координату C, заметим, что в равностороннем треугольнике высота делит основание пополам. Высота равна \( \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3} \). Таким образом, \( C(1, \sqrt{3}, 0) \).
2. **Координаты точки D**. Учитывая, что отрезок BD перпендикулярен плоскости треугольника и равен \( \sqrt{6} \), то координаты точки D будут \( D(2, 0, \sqrt{6}) \).
3. **Теперь найдем площадь треугольника ADC**. Площадь треугольника можно вычислить, используя координаты его вершин. Для этого используем формулу площади треугольника в пространстве:
\[
S = \frac{1}{2} \left| \overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{AC} \right|
\]
Найдем векторы:
- \( \overrightarrow{AD} = D - A = (2, 0, \sqrt{6}) - (0, 0, 0) = (2, 0, \sqrt{6}) \)
- \( \overrightarrow{AC} = C - A = (1, \sqrt{3}, 0) - (0, 0, 0) = (1, \sqrt{3}, 0) \)
4. **Находим векторное произведение**:
\[
\overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{AC} =
\begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
2 & 0 & \sqrt{6} \\
1 & \sqrt{3} & 0
\end{vmatrix}
= \hat{i}(0 \cdot 0 - \sqrt{6} \cdot \sqrt{3}) - \hat{j}(2 \cdot 0 - \sqrt{6} \cdot 1) + \hat{k}(2 \cdot \sqrt{3} - 0 \cdot 1)
\]
\[
= \hat{i}(-\sqrt{18}) + \hat{j}(\sqrt{6}) + \hat{k}(2\sqrt{3})
\]
\[
= (-3\sqrt{2}, -\sqrt{6}, 2\sqrt{3})
\]
5. **Находим модуль векторного произведения**:
\[
\left| \overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{AC} \right| = \sqrt{(-3\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{6})^2 + (2\sqrt{3})^2}
\]
\[
= \sqrt{18 + 6 + 12} = \sqrt{36} = 6
\]
6. **Подставим в формулу для площади**:
\[
S = \frac{1}{2} \times 6 = 3
\]
Таким образом, площадь треугольника ADC равна 3.
