В равностороннем треугольнике ABC AB=2. Отрезок BD перпендикулярен плоскости треугольника и равен √6. Найдите площадь треугольника ADC.

Чтобы найти площадь треугольника ADC в данной задаче, стоит использовать свойства равностороннего треугольника и формулу для нахождения площади.

1. Определим координаты точек треугольника ABC. Поскольку треугольник равносторонний и AB = 2, уместно взять:

   • \( A(0, 0, 0) \)
   • \( B(2, 0, 0) \)
   • Чтобы найти координату C, заметим, что в равностороннем треугольнике высота делит основание пополам. Высота равна \( \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3} \). Таким образом, \( C(1, \sqrt{3}, 0) \).

2. Координаты точки D. Учитывая, что отрезок BD перпендикулярен плоскости треугольника и равен \( \sqrt{6} \), то координаты точки D будут \( D(2, 0, \sqrt{6}) \).

3. Теперь найдем площадь треугольника ADC. Площадь треугольника можно вычислить, используя координаты его вершин. Для этого используем формулу площади треугольника в пространстве: \[ S = \frac{1}{2} \left| \overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{AC} \right| \] Найдем векторы:

   • \( \overrightarrow{AD} = D - A = (2, 0, \sqrt{6}) - (0, 0, 0) = (2, 0, \sqrt{6}) \)
   • \( \overrightarrow{AC} = C - A = (1, \sqrt{3}, 0) - (0, 0, 0) = (1, \sqrt{3}, 0) \)

4. Находим векторное произведение: \[ \overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 0 & \sqrt{6} \\ 1 & \sqrt{3} & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 \cdot 0 - \sqrt{6} \cdot \sqrt{3}) - \hat{j}(2 \cdot 0 - \sqrt{6} \cdot 1) + \hat{k}(2 \cdot \sqrt{3} - 0 \cdot 1) \] \[ = \hat{i}(-\sqrt{18}) + \hat{j}(\sqrt{6}) + \hat{k}(2\sqrt{3}) \] \[ = (-3\sqrt{2}, -\sqrt{6}, 2\sqrt{3}) \]

5. Находим модуль векторного произведения: \[ \left| \overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{AC} \right| = \sqrt{(-3\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{6})^2 + (2\sqrt{3})^2} \] \[ = \sqrt{18 + 6 + 12} = \sqrt{36} = 6 \]

6. Подставим в формулу для площади: \[ S = \frac{1}{2} \times 6 = 3 \]

Таким образом, площадь треугольника ADC равна 3.