1. Вычислить производные: у= In²x, y= x²/x+3 y=2c1gx+3x²-6x+1
Давайте поочередно найдем производные для каждого из заданных выражений.
- Для функции \( y = \ln^2(x) \):
Чтобы найти производную, используем правило цепочки. Обозначим \( u = \ln(x) \). Тогда \( y = u^2 \).
Сначала найдём производную \( y \) по \( u \): \[ \frac{dy}{du} = 2u = 2\ln(x) \]
Теперь найдем производную \( u \) по \( x \): \[ \frac{du}{dx} = \frac{1}{x} \]
Теперь применим правило цепочки: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 2\ln(x) \cdot \frac{1}{x} = \frac{2\ln(x)}{x} \]
Таким образом, производная функции \( y = \ln^2(x) \) равна: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{2\ln(x)}{x} \]
- Для функции \( y = \frac{x^2}{x + 3} \):
Здесь лучше всего воспользоваться правилом деления. Обозначим \( u = x^2 \) и \( v = x + 3 \).
Производная по формуле Карпентера (правило деления): \[ \frac{dy}{dx} = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2} \]
Где: \[ \frac{du}{dx} = 2x \quad \text{и} \quad \frac{dv}{dx} = 1 \]
Теперь подставим это в формулу: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{(x + 3)(2x) - (x^2)(1)}{(x + 3)^2} = \frac{2x^2 + 6x - x^2}{(x + 3)^2} = \frac{x^2 + 6x}{(x + 3)^2} \]
Таким образом, производная функции \( y = \frac{x^2}{x + 3} \) равна: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + 6x}{(x + 3)^2} \]
- Для функции \( y = 2\cos(x) + 3x^2 - 6x + 1 \):
Здесь мы можем использовать правила дифференцирования для каждого члена функции отдельно: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(2\cos(x)) + \frac{d}{dx}(3x^2) - \frac{d}{dx}(6x) + \frac{d}{dx}(1) \]
Получаем:
- Производная \( 2\cos(x) \) — это \( -2\sin(x) \)
- Производная \( 3x^2 \) — это \( 6x \)
- Производная \( -6x \) — это \( -6 \)
- Производная \( 1 \) — это \( 0 \)
Теперь можем сложить все результаты: \[ \frac{dy}{dx} = -2\sin(x) + 6x - 6 \]
Итак, производная функции \( y = 2\cos(x) + 3x^2 - 6x + 1 \) равна: \[ \frac{dy}{dx} = -2\sin(x) + 6x - 6 \]
Если у вас будут дополнительные вопросы по этой теме или другим аспектам математики, не стесняйтесь задавать их!
