Для нахождения производной функции ( y = \frac{x^2}{x + 3} ) необходимо воспользоваться правилом деления производных. Производную функции можно вычислить, применяя правило, которое звучит так:
Если ( y = \frac{u}{v} ), где ( u ) и ( v ) — дифференцируемые функции, то производная ( y' ) определяется как:
[
y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
]
В нашем случае:
- ( u = x^2 ) и тогда ( u' = 2x )
- ( v = x + 3 ) и тогда ( v' = 1 )
Теперь подставим эти значения в формулу:
[
y' = \frac{(2x)(x + 3) - (x^2)(1)}{(x + 3)^2}
]
Упрощаем числитель:
[
= \frac{2x^2 + 6x - x^2}{(x + 3)^2}
]
[
= \frac{x^2 + 6x}{(x + 3)^2}
]
Таким образом, окончательная производная функции ( y = \frac{x^2}{x + 3} ) будет равна:
[
y' = \frac{x^2 + 6x}{(x + 3)^2}
]
Это и есть искомая производная. Если будут дополнительные вопросы по этой теме или другим аспектам математики, не стесняйтесь задавать!
