ОГЭ <<Арифметическая прогрессия» ФИПИ 2015 Арифметическая прогрессия задана условиями а1=0,9, ал+1=8 +1,1. Найдите сумму первых 11 её членов. Арифметическая прогрессия задана…

Конечно! Давайте разберем каждую из арифметических прогрессий и найдем сумм первых членов.

Арифметическая прогрессия определяется первым членом (a₁) и разностью (d), которая вычисляется как d = a(n+1) - aₙ. Сумма первых n членов арифметической прогрессии рассчитывается по формуле:

\[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a₁ + (n-1)d) \]

Теперь рассмотрим каждую задачу по очереди.

1. a₁ = 0.9, a(n+1) = 8 + 1.1 Разность: d = 8 + 1.1 - 0.9 = 8.2. Сумма первых 11 членов: \[ S_{11} = \frac{11}{2} (2 \cdot 0.9 + (11-1) \cdot 8.2) = \frac{11}{2} (1.8 + 82) = \frac{11}{2} \cdot 83.8 = 11 \cdot 41.9 = 460.9 \]

2. a₁ = 48, a(n+1) = 8 - 17 Разность: d = 8 - 17 - 48 = -57. Сумма первых 17 членов: \[ S_{17} = \frac{17}{2} (2 \cdot 48 + (17-1) \cdot (-57)) = \frac{17}{2} (96 - 912) = \frac{17}{2} \cdot (-816) = 17 \cdot (-408) = -6936 \]

3. a₁ = -15, a(n+1) = a - 10 Разность: d = -10. Сумма первых 16 членов: \[ S_{16} = \frac{16}{2} (2 \cdot (-15) + (16-1)(-10)) = 8 (-30 - 150) = 8 \cdot (-180) = -1440 \]

4. a₁ = -1.5, a(n+1) = 8 - 0.1 Разность: d = 8 - (-1.5) - 0.1 = 9.4. Сумма первых 19 членов: \[ S_{19} = \frac{19}{2} (2 \cdot (-1.5) + (19-1)(9.4)) = \frac{19}{2} (-3 + 179.2) = \frac{19}{2} \cdot 176.2 = 19 \cdot 88.1 = 1674.8 \]

5. a₁ = 0.1, a(n+1) = 0 + 1.2 Разность: d = 1.1. Сумма первых 10 членов: \[ S_{10} = \frac{10}{2} (2 \cdot 0.1 + (10-1) \cdot 1.1) = 5 (0.2 + 9.9) = 5 \cdot 10.1 = 50.5 \]

6. a₁ = 7, a(n+1) = a(n) - 10 Разность: d = -10. Сумма первых 5 членов: \[ S_{5} = \frac{5}{2} (2 \cdot 7 + (5-1)(-10)) = \frac{5}{2} (14 - 40) = \frac{5}{2} \cdot (-26) = 5 \cdot (-13) = -65 \]

7. a₁ = -9, a(n+1) = a(n) - 16 Разность: d = -16. Сумма первых 17 членов: \[ S_{17} = \frac{17}{2} (2 \cdot (-9) + (17-1)(-16)) = \frac{17}{2} (-18 - 256) = \frac{17}{2} \cdot (-274) = 17 \cdot (-137) = -2329 \]

8. a₁ = -12, a(n+1) = 3 + 12 Разность: d = 15. Сумма первых 7 членов: \[ S_{7} = \frac{7}{2} (2 \cdot (-12) + (7-1)(15)) = \frac{7}{2} (-24 + 90) = \frac{7}{2} \cdot 66 = 7 \cdot 33 = 231 \]

9. a₁ = -2.2, a(n+1) = a - 1 Разность: d = -1. Сумма первых 9 членов: \[ S_{9} = \frac{9}{2} (2 \cdot (-2.2) + (9-1)(-1)) = \frac{9}{2} (-4.4 - 8) = \frac{9}{2} \cdot (-12.4) = 9 \cdot (-6.2) = -55.8 \]

10. a₁ = 2, a(n+1) = 3 + 0.9 Разность: d = 1.9. Сумма первых 6 членов: \[ S_{6} = \frac{6}{2} (2 \cdot 2 + (6-1)(1.9)) = 3 (4 + 9.5) = 3 \cdot 13.5 = 40.5 \]

Теперь перейдем к прогрессиям, где даны первые члены:

11. Члены: 6, 10, 14,... (d = 4) Сумма первых 50 членов: \[ S_{50} = \frac{50}{2} (2 \cdot 6 + (50-1) \cdot 4) = 25 (12 + 196) = 25 \cdot 208 = 5200 \]

12. Члены: 2, 6, 10,... (d = 4) Сумма первых 40 членов: \[ S_{40} = \frac{40}{2} (2 \cdot 2 + (40-1) \cdot 4) = 20 (4 + 156) = 20 \cdot 160 = 3200 \]

13. Члены: -3, 1, 5,... (d = 4) Сумма первых 60 членов: \[ S_{60} = \frac{60}{2} (2 \cdot (-3) + (60-1) \cdot 4) = 30 (-6 + 236) = 30 \cdot 230 = 6900 \]

14. Члены: -7, 5, -3,... (d = 12) Сумма первых 50 членов: \[ S_{50} = \frac{50}{2} (2 \cdot (-7) + (50-1) \cdot 12) = 25 (-14 + 588) = 25 \cdot 574 = 14350 \]

15. Члены: 1, 3, 5,... (d = 2) Сумма первых 70 членов: \[ S_{70} = \frac{70}{2} (2 \cdot 1 + (70-1) \cdot 2) = 35 (2 + 138) = 35 \cdot 140 = 4900 \]

16. Члены: 6, 8, 10,... (d = 2) Сумма первых 60 членов: \[ S_{60} = \frac{60}{2} (2 \cdot 6 + (60-1) \cdot 2) = 30 (12 + 118) = 30 \cdot 130 = 3900 \]

17. Члены: -7, -4, -1,... (d = 3) Сумма первых 60 членов: \[ S_{60} = \frac{60}{2} (2 \cdot (-7) + (60-1) \cdot 3) = 30 (-14 + 177) = 30 \cdot 163 = 4890 \]

18. Члены: -1, 2, 5,... (d = 3) Сумма первых 55 членов: \[ S_{55} = \frac{55}{2} (2 \cdot (-1) + (55-1) \cdot 3) = \frac{55}{2} (-2 + 162) = \frac{55}{2} \cdot 160 = 55 \cdot 80 = 4400 \]

19. Члены: 4, 7, 10,... (d = 3) Сумма первых 65 членов: \[ S_{65} = \frac{65}{2} (2 \cdot 4 + (65-1) \cdot 3) = \frac{65}{2} (8 + 192) = \frac{65}{2} \cdot 200 = 65 \cdot 100 = 6500 \]

20. Члены: -6, -2, 2,... (d = 4) Сумма первых 50 членов: \[ S_{50} = \frac{50}{2} (2 \cdot (-6) + (50-1) \cdot 4) = 25 (-12 + 196) = 25 \cdot 184 = 4600 \]

Если у вас есть дополнительные вопросы или необходимо решение других задач, с удовольствием отвечу!