2tg x/4-2ctg x/4=3

Давайте решим уравнение \( 2\tan\left(\frac{x}{4}\right) - 2\cot\left(\frac{x}{4}\right) = 3 \).

Сначала упростим уравнение. Разделим обе стороны на 2:

\[ \tan\left(\frac{x}{4}\right) - \cot\left(\frac{x}{4}\right) = \frac{3}{2} \]

Теперь воспользуемся тем, что \( \cot\left(\frac{x}{4}\right) = \frac{1}{\tan\left(\frac{x}{4}\right)} \). Обозначим \( t = \tan\left(\frac{x}{4}\right) \). Тогда уравнение примет вид:

\[ t - \frac{1}{t} = \frac{3}{2} \]

Умножим обе стороны на \( t \) (при условии, что \( t \neq 0 \)):

\[ t^2 - 1 = \frac{3}{2}t \]

Перегруппируем все члены в одном уравнении:

\[ t^2 - \frac{3}{2}t - 1 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы решения квадратных уравнений:

\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Где \( a = 1 \), \( b = -\frac{3}{2} \) и \( c = -1 \):

\[ t = \frac{\frac{3}{2} \pm \sqrt{\left(-\frac{3}{2}\right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} \]

Сначала вычислим дискриминант:

\[ \left(-\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}, \quad -4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 \] \[ D = \frac{9}{4} + 4 = \frac{9}{4} + \frac{16}{4} = \frac{25}{4} \]

Теперь подставим значения в формулу:

\[ t = \frac{\frac{3}{2} \pm \frac{5}{2}}{2} = \frac{3 \pm 5}{4} \]

Это дает нам два решения:

1. \( t_1 = \frac{8}{4} = 2 \)
2. \( t_2 = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \)

Теперь мы нашли \( t \), т.е. \( \tan\left(\frac{x}{4}\right) = 2 \) и \( \tan\left(\frac{x}{4}\right) = -\frac{1}{2} \).

Теперь найдём \( x \):

1. Для \( \tan\left(\frac{x}{4}\right) = 2 \): \[ \frac{x}{4} = \arctan(2) + n\pi \quad (n \in \mathbb{Z}) \] Тогда: \[ x = 4\arctan(2) + 4n\pi \]

2. Для \( \tan\left(\frac{x}{4}\right) = -\frac{1}{2} \): \[ \frac{x}{4} = \arctan\left(-\frac{1}{2}\right) + n\pi \] Что можно переписать как: \[ \frac{x}{4} = -\arctan\left(\frac{1}{2}\right) + n\pi \] Тогда: \[ x = 4\left(-\arctan\left(\frac{1}{2}\right)\right) + 4n\pi \]

Это все решения для заданного уравнения. Если возникнут дополнительные вопросы, с удовольствием помогу!