Задача 3. Допустим, что фирма является монополистом. Следующая информация отражает положение фирмы Общий доход TR =800Q - 20Q2 Общие издержки ТС =10Q2+200Q+300 где - объем выпуска (шт.). Сколько продукции будет продано и по какой цене, если фирма функционирует как простая монополия? Определите прибыль фирмы.

Для решения задачи о монополии, давайте сначала найдем объем производства, при котором монополист максимизирует свою прибыль. 1. **Найдём предельный доход (MR)**: Предельный доход — это производная общего дохода по количеству выпуска. Общий доход \( TR = 800Q - 20Q^2 \). Чтобы найти MR, вычислим производную: \[ MR = \frac{d(TR)}{dQ} = 800 - 40Q \] 2. **Найдём предельные издержки (MC)**: Предельные издержки — это производная общих издержек по количеству выпуска. Общие издержки \( TC = 10Q^2 + 200Q + 300 \). Теперь вычислим производную: \[ MC = \frac{d(TC)}{dQ} = 20Q + 200 \] 3. **Найдем точку максимизации прибыли**: Прибыль максимизируется, когда MR = MC: \[ 800 - 40Q = 20Q + 200 \] Соберем все \( Q \) на одну сторону уравнения: \[ 800 - 200 = 40Q + 20Q \] \[ 600 = 60Q \] \[ Q = 10 \] 4. **Находим цену (P)**: Теперь подставим \( Q \) в уравнение общего дохода, чтобы найти цену. Сначала найдем цену через общую функцию спроса: \[ TR = 800Q - 20Q^2 \] Мы можем выразить цену как: \[ P = \frac{TR}{Q} = \frac{800 \cdot 10 - 20 \cdot 10^2}{10} = 800 - 20 \cdot 10 = 800 - 200 = 600 \] 5. **Определим прибыль**: Прибыль (\( \pi \)) рассчитывается как разница между общим доходом и общими издержками: \[ \pi = TR - TC \] Сначала найдем \( TR \) и \( TC \) при \( Q = 10 \): - Общий доход: \[ TR = 800 \cdot 10 - 20 \cdot 10^2 = 8000 - 2000 = 6000 \] - Общие издержки: \[ TC = 10 \cdot 10^2 + 200 \cdot 10 + 300 = 10 \cdot 100 + 2000 + 300 = 1000 + 2000 + 300 = 3300 \] Теперь находим прибыль: \[ \pi = 6000 - 3300 = 2700 \] **Итак, фирма продаст 10 единиц продукции по цене 600, и ее прибыль составит 2700.**