Вычислите ((x-1)^2+1)^1/2 с точностью до 2 знаков после запятой в точке x0=0,5 рядом Макларена
Чтобы вычислить значение функции \(\sqrt{(x-1)^2+1}\) в точке \(x_0 = 0.5\) с использованием ряда Маклорена, сначала найдем производные функции в этой точке.
Определим функцию: \[ f(x) = \sqrt{(x-1)^2 + 1} \]
Теперь вычислим её значение и производные в точке \(x_0 = 0.5\).
Значение функции: \[ f(0.5) = \sqrt{(0.5 - 1)^2 + 1} = \sqrt{(-0.5)^2 + 1} = \sqrt{0.25 + 1} = \sqrt{1.25} \approx 1.118 \]
Первая производная: Используем правило дифференцирования для корня: \[ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{(x-1)^2 + 1}} \cdot 2(x-1) = \frac{x-1}{\sqrt{(x-1)^2 + 1}} \]
Выражаем первую производную в точке \(x_0 = 0.5\): \[ f'(0.5) = \frac{0.5 - 1}{\sqrt{(0.5 - 1)^2 + 1}} = \frac{-0.5}{\sqrt{1.25}} \approx \frac{-0.5}{1.118} \approx -0.447 \]
- Вторая производная: Для вычисления второй производной воспользуемся производной первой производной. Нам нужно выразить \(f''(x)\): \[ f''(x) = \frac{\sqrt{(x-1)^2 + 1} \cdot 1 - (x-1) \cdot \frac{x-1}{\sqrt{(x-1)^2 + 1}}}{(x-1)^2 + 1} \] Упрощая, мы получаем: \[ f''(x) = \frac{(x-1)^2 + 1 - (x-1)^2}{((x-1)^2 + 1)^{3/2}} = \frac{1}{((x-1)^2 + 1)^{3/2}} \]
Вычисляем \(f''(0.5)\): \[ f''(0.5) = \frac{1}{(1.25)^{3/2}} = \frac{1}{1.25 \cdot \sqrt{1.25}} \approx \frac{1}{1.25 \cdot 1.118} \approx \frac{1}{1.397} \approx 0.717 \]
- Ряд Маклорена: Теперь можем составить ряд Маклорена до второго порядка в точке \(x_0 = 0.5\): \[ f(x) \approx f(0.5) + f'(0.5)(x - 0.5) + \frac{f''(0.5)}{2}(x - 0.5)^2 \]
Подставляя значения: \[ f(x) \approx 1.118 - 0.447(x - 0.5) + \frac{0.717}{2}(x - 0.5)^2 \]
- Подстановка \(x = 0.5\): Таким образом, для \(x=0.5\) получается: \[ f(0.5) \approx 1.118 \]
Для других значений \(x\) в окрестности \(0.5\) можно подставить в полученное выражение для получения приближенного значения.
Таким образом, округляя до двух знаков после запятой, получаем: \[ f(0.5) \approx 1.12 \]
