Найти площадь боковой поверхности пирамиды, если её основание- квадрат, а боковое ребро пирамиды равно 24 см и образует с апофемой угол 30°

Для нахождения площади боковой поверхности пирамиды, у которой основание — квадрат, необходимо знать высоту боковых граней и длину основания.

1. Обозначим данные:

   • Длину бокового ребра обозначим как \( l = 24 \) см.
   • Угол между боковым ребром и апофемой обозначим как \( \alpha = 30^\circ \).

2. Найдем апофему (h) пирамиды: Апофема \( h \) и боковое ребро \( l \) образуют прямоугольный треугольник, в котором: \[ \sin(\alpha) = \frac{h}{l} \] Подставим известные значения: \[ \sin(30^\circ) = \frac{h}{24} \] Известно, что \( \sin(30^\circ) = 0.5 \), тогда: \[ 0.5 = \frac{h}{24} \] Отсюда находим высоту апофемы: \[ h = 24 \cdot 0.5 = 12 \text{ см} \]

3. Найдем длину стороны основания (a) квадрата: Для нахождения стороны основания \( a \) воспользуемся тем, что: \[ \cos(\alpha) = \frac{a/2}{l} \] Тогда: \[ \cos(30^\circ) = \frac{a/2}{24} \] Известно, что \( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \), подставим: \[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a/2}{24} \] Умножим обе стороны на 24: \[ 12\sqrt{3} = \frac{a}{2} \] Следовательно: \[ a = 24\sqrt{3} \text{ см} \]

4. Найдем площадь боковой поверхности. Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей всех боковых треугольников. Поскольку основание — квадрат, то у нас 4 боковых грани, и площадь одной боковой грани вычисляется как: \[ S_{\text{грань}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \] Подставим известные значения: \[ S_{\text{грань}} = \frac{1}{2} \cdot 24\sqrt{3} \cdot 12 \] Упрощаем: \[ S_{\text{грань}} = 12\sqrt{3} \cdot 12 = 144\sqrt{3} \text{ см}^2 \] Площадь всей боковой поверхности \( S_{\text{бок}} \) будет равна: \[ S_{\text{бок}} = 4 \cdot S_{\text{грань}} = 4 \cdot 144\sqrt{3} = 576\sqrt{3} \text{ см}^2 \]

Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды равна \( 576\sqrt{3} \) см².