Вариант -1 1. Найти производную функции (2x + 1) * 2 + 5(2x + 1) 2. Составить каноническое уравнение параболы и уравнение ее директрисы, если известно, что вершина параболы лежит…

Давайте по порядку разберемся с каждым из заданий.

1. Найти производную функции \( (2x + 1) \cdot 2 + 5(2x + 1) \).

Сначала упростим выражение: \[ (2x + 1) \cdot 2 + 5(2x + 1) = 2(2x + 1) + 5(2x + 1) = (2 + 5)(2x + 1) = 7(2x + 1). \] Теперь найдем производную: \[ f(x) = 7(2x + 1). \] \[ f'(x) = 7 \cdot 2 = 14. \]

Таким образом, производная функции равна \( 14 \).

2. Составить каноническое уравнение параболы и уравнение ее директрисы, если известно, что вершина параболы лежит в начале координат, а фокус имеет координаты (0; -3).

Парабола, имеющая фокус ниже вершины, открывается вниз. Уравнение параболы имеет вид: \[ y = -\frac{1}{4p}x^2, \] где \( p \) — это расстояние от фокуса до директрисы. В данном случае \( p = 3 \), поэтому: \[ y = -\frac{1}{4 \cdot 3}x^2 = -\frac{1}{12}x^2. \] Директрису можно найти по формуле \( y = -p = -3 \).

3. Написать каноническое уравнение гиперболы, если \( a = 4 \), \( b = 1 \).

Уравнение гиперболы, имеющей центр в начале координат и открывающейся по горизонтали, имеет вид: \[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1. \] Подставим значения: \[ \frac{x^2}{4^2} - \frac{y^2}{1^2} = 1 \Rightarrow \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{1} = 1. \]

4. Написать каноническое уравнение эллипса, если \( b = 3 \), \( c = 2 \) при \( a > b \).

Находим \( a \): \[ c^2 = a^2 - b^2 \Rightarrow 2^2 = a^2 - 3^2 \Rightarrow 4 = a^2 - 9 \Rightarrow a^2 = 13. \] Каноническое уравнение эллипса будет: \[ \frac{x^2}{13} + \frac{y^2}{9} = 1. \]

5. Для прямой, проходящей через точки \( A(2, 1, 1) \) и \( B(3, 1, -2) \), написать каноническое и параметрическое уравнения.

Вектор направления прямой: \[ \vec{d} = B - A = (3 - 2, 1 - 1, -2 - 1) = (1, 0, -3). \] Каноническое уравнение: \[ \begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 \\ z = 1 - 3t \end{cases} \] Параметрическое уравнение: \[ \vec{r}(t) = (2, 1, 1) + t(1, 0, -3). \]

6. Решить систему уравнений методом Крамера: \[ \begin{cases} 2x_1 + x_2 = 5 \\ 3x_1 + 2x_2 = 3 \end{cases} \]

Определитель матрицы коэффициентов: \[ D = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot 2 - 1 \cdot 3 = 4 - 3 = 1. \]

Теперь находим \( D_{x_1} \) и \( D_{x_2} \): \[ D_{x_1} = \begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 5 \cdot 2 - 1 \cdot 3 = 10 - 3 = 7, \] \[ D_{x_2} = \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 3 \end{vmatrix} = 2 \cdot 3 - 5 \cdot 3 = 6 - 15 = -9. \]

Решения: \[ x_1 = \frac{D_{x_1}}{D} = \frac{7}{1} = 7, \] \[ x_2 = \frac{D_{x_2}}{D} = \frac{-9}{1} = -9. \]

Таким образом, \( x_1 = 7 \), \( x_2 = -9 \).

7. Методом замены переменной найти интеграл \( \int (3x + 2)^5 \, dx \).

Пусть \( u = 3x + 2 \), тогда \( du = 3dx \) или \( dx = \frac{du}{3} \). Интеграл становится: \[ \int (3x + 2)^5 \, dx = \int u^5 \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int u^5 \, du = \frac{1}{3} \cdot \frac{u^6}{6} + C = \frac{u^6}{18} + C = \frac{(3x + 2)^6}{18} + C. \]

Если у вас есть еще вопросы, с удовольствием отвечу!