Давайте по порядку разберемся с каждым из заданий.
- Найти производную функции ( (2x + 1) \cdot 2 + 5(2x + 1) ).
Сначала упростим выражение:
[
(2x + 1) \cdot 2 + 5(2x + 1) = 2(2x + 1) + 5(2x + 1) = (2 + 5)(2x + 1) = 7(2x + 1).
]
Теперь найдем производную:
[
f(x) = 7(2x + 1).
]
[
f'(x) = 7 \cdot 2 = 14.
]
Таким образом, производная функции равна ( 14 ).
- Составить каноническое уравнение параболы и уравнение ее директрисы, если известно, что вершина параболы лежит в начале координат, а фокус имеет координаты (0; -3).
Парабола, имеющая фокус ниже вершины, открывается вниз. Уравнение параболы имеет вид:
[
y = -\frac{1}{4p}x^2,
]
где ( p ) — это расстояние от фокуса до директрисы. В данном случае ( p = 3 ), поэтому:
[
y = -\frac{1}{4 \cdot 3}x^2 = -\frac{1}{12}x^2.
]
Директрису можно найти по формуле ( y = -p = -3 ).
- Написать каноническое уравнение гиперболы, если ( a = 4 ), ( b = 1 ).
Уравнение гиперболы, имеющей центр в начале координат и открывающейся по горизонтали, имеет вид:
[
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1.
]
Подставим значения:
[
\frac{x^2}{4^2} - \frac{y^2}{1^2} = 1 \Rightarrow \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{1} = 1.
]
- Написать каноническое уравнение эллипса, если ( b = 3 ), ( c = 2 ) при ( a > b ).
Находим ( a ):
[
c^2 = a^2 - b^2 \Rightarrow 2^2 = a^2 - 3^2 \Rightarrow 4 = a^2 - 9 \Rightarrow a^2 = 13.
]
Каноническое уравнение эллипса будет:
[
\frac{x^2}{13} + \frac{y^2}{9} = 1.
]
- Для прямой, проходящей через точки ( A(2, 1, 1) ) и ( B(3, 1, -2) ), написать каноническое и параметрическое уравнения.
Вектор направления прямой:
[
\vec{d} = B - A = (3 - 2, 1 - 1, -2 - 1) = (1, 0, -3).
]
Каноническое уравнение:
[
\begin{cases}
x = 2 + t \
y = 1 \
z = 1 - 3t
\end{cases}
]
Параметрическое уравнение:
[
\vec{r}(t) = (2, 1, 1) + t(1, 0, -3).
]
- Решить систему уравнений методом Крамера:
[
\begin{cases}
2x_1 + x_2 = 5 \
3x_1 + 2x_2 = 3
\end{cases}
]
Определитель матрицы коэффициентов:
[
D = \begin{vmatrix}
2 & 1 \
3 & 2
\end{vmatrix} = 2 \cdot 2 - 1 \cdot 3 = 4 - 3 = 1.
]
Теперь находим ( D_{x_1} ) и ( D_{x_2} ):
[
D_{x_1} = \begin{vmatrix}
5 & 1 \
3 & 2
\end{vmatrix} = 5 \cdot 2 - 1 \cdot 3 = 10 - 3 = 7,
]
[
D_{x_2} = \begin{vmatrix}
2 & 5 \
3 & 3
\end{vmatrix} = 2 \cdot 3 - 5 \cdot 3 = 6 - 15 = -9.
]
Решения:
[
x_1 = \frac{D_{x_1}}{D} = \frac{7}{1} = 7,
]
[
x_2 = \frac{D_{x_2}}{D} = \frac{-9}{1} = -9.
]
Таким образом, ( x_1 = 7 ), ( x_2 = -9 ).
- Методом замены переменной найти интеграл ( \int (3x + 2)^5 , dx ).
Пусть ( u = 3x + 2 ), тогда ( du = 3dx ) или ( dx = \frac{du}{3} ).
Интеграл становится:
[
\int (3x + 2)^5 , dx = \int u^5 \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int u^5 , du = \frac{1}{3} \cdot \frac{u^6}{6} + C = \frac{u^6}{18} + C = \frac{(3x + 2)^6}{18} + C.
]
Если у вас есть еще вопросы, с удовольствием отвечу!
