Найди косинус наименьшего угла треугольника АВС, заданного координатами вершин A(0; 6; -8), В (-15; 6; -8) и С (0; 6; 0). Результат округли до десятых.

Чтобы найти косинус наименьшего угла треугольника ABC, заданного координатами вершин A(0; 6; -8), B(-15; 6; -8) и C(0; 6; 0), необходимо сначала найти векторы, образующие углы треугольника, и затем использовать формулу для нахождения косинуса угла.

1. Найдем векторы AB и AC: \[ \vec{AB} = B - A = (-15 - 0, 6 - 6, -8 - (-8)) = (-15, 0, 0) \] \[ \vec{AC} = C - A = (0 - 0, 6 - 6, 0 - (-8)) = (0, 0, 8) \]

2. Теперь найдем вектор BC: \[ \vec{BC} = C - B = (0 - (-15), 6 - 6, 0 - (-8)) = (15, 0, 8) \]

3. Для нахождения косинусов углов используем формулу: \[ \cos \alpha = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| |\vec{AC}|} \]

   Сначала найдем скалярное произведение \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\): \[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-15, 0, 0) \cdot (0, 0, 8) = 0 \]

   Поскольку скалярное произведение равно 0, это означает, что угол между векторами AB и AC равен 90 градусов. Следовательно, для поиска наименьшего угла мы должны проверить другие векторы.

4. Нахождение косинуса угла ACB: \[ \cos \beta = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{BC}}{|\vec{AC}| |\vec{BC}|} \] Сначала найдем скалярное произведение \(\vec{AC} \cdot \vec{BC}\): \[ \vec{AC} \cdot \vec{BC} = (0, 0, 8) \cdot (15, 0, 8) = 0 \cdot 15 + 0 \cdot 0 + 8 \cdot 8 = 64 \]

   Далее находим длины векторов: \[ |\vec{AC}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 8^2} = 8 \] \[ |\vec{BC}| = \sqrt{15^2 + 0^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17 \]

   Теперь подставим значения в формулу: \[ \cos \beta = \frac{64}{8 \cdot 17} = \frac{64}{136} = \frac{16}{34} \approx 0.4706 \]

5. Далее проверим косинус угла ABC: \[ \cos \gamma = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{BC}}{|\vec{AB}| |\vec{BC}|} \] Скалярное произведение: \[ \vec{AB} \cdot \vec{BC} = (-15, 0, 0) \cdot (15, 0, 8) = -225 \] Длина \(\vec{AB}\): \[ |\vec{AB}| = 15 \] Длина \(\vec{BC}\): \[ |\vec{BC}| = 17 \] Подставляем в формулу: \[ \cos \gamma = \frac{-225}{15 \cdot 17} = \frac{-225}{255} \approx -0.8824 \]

Наименьший угол будет как раз между векторами AB и AC, так как он равен 90 градусам. Таким образом, значением косинуса наименьшего угла является косинус угла между векторами, которые были найдены ранее. После проверки все углы, наименьший угол – это как раз 90°.

Тем не менее, можно округлить \(|\cos \gamma|\): Косинусы получились таковы:

• \(|\cos \alpha| = 0\) (90 градусов)
• \(|\cos \beta| = 0.4706\) (угол между векторами AC и BC)
• \(|\cos \gamma| \approx -0.8824\) (угол между векторами AB и BC)

Итак, наименьший угол был между AB и AC, и косинус равен 0.

Поэтому ответ: Косинус наименьшего угла: 0.0.