6 Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 220°. Найдите меньший угол трапеции. Ответ дайте в градусах. 7 Диагонали ромба равны 6 и 8. Найдите периметр ромба. 8. Укажите…

Давайте решим каждую задачу по очереди.

6. Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 220°. Найдите меньший угол трапеции.

Обозначим углы трапеции как \( A \) и \( B \) (основание \( AD \)) и \( C \) и \( D \) (основание \( BC \)). В равнобедренной трапеции углы при основании равны, то есть \( A = B \) и \( C = D \). Сумма углов трапеции равна 360°, поэтому имеем:

\[ A + B + C + D = 360° \] При этом:

\[ A + C = 220° \quad \text{и} \quad B + D = 140° \]

Поскольку \( A = B \) и \( C = D \):

\[ A + A + C + C = 360° \implies 2A + 2C = 360° \implies A + C = 180° \]

Решаем систему уравнений:

1. \( A + C = 220° \)
2. \( A + C = 180° \)

Отсюда можно заметить, что \( A \) и \( C \) имеют разные углы, мы можем заключить, что:

Давайте будем считать, что \( A + C = 220° \) это сумма равных углов \( A \) и \( C \):

Следовательно, меньший угол:

\[ C = \frac{220°}{2} = 110° \quad (меньший \, угол \, A = 70°) \]

Ответ: 70°.

---

7. Диагонали ромба равны 6 и 8. Найдите периметр ромба.

Сначала находим сторону ромба, используя формулу для диагоналей ромба \( d_1 \) и \( d_2 \):

Сторона \( a \) ромба может быть найдена с помощью формулы:

\[ a = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2} \]

Где:

• \( d_1 = 6 \) и \( d_2 = 8 \).

Считаем:

\[ a = \sqrt{\left(\frac{6}{2}\right)^2 + \left(\frac{8}{2}\right)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

Теперь найдем периметр:

\[ P = 4a = 4 \times 5 = 20 \]

Ответ: 20.

---

8. Укажите номера верных утверждений:

1. В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. (Это неправда, диагонали прямоугольника равны и пересекаются, но не перпендикулярны).

2. Существует квадрат, который не является ромбом. (Это неправда, квадрат — это частный случай ромба, так что он обязательно является ромбом).

3. Если один из углов параллелограмма равен 60°, то противоположный ему угол равен 60°. (Это правда).

4. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 180°. (Это неправда, сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360°).

Верное утверждение: 3.

---

9. В параллелограмме ABCD диагональ АС в 2 раза больше стороны AV и \( L_{ACD} = 63° \). Найдите угол между диагоналями параллелограмма.

Пусть \( AB = x \) и \( AC = 2x \), то \( L_{ACD} = 63° \). Находим угол между диагоналями параллелограмма \( L_{ACB} \):

Сумма углов в параллелограмме равна 360°:

Разделим углы \( ACD \) и \( ABC \) и воспользуемся тем, что угол между диагоналями равен:

\[ L_{ACB} = 180° - 2 \cdot L_{ACD} = 180° - 126° = 54° \]

Ответ: 54°.

---

10. Биссектрисса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если \( BK = 6 \), \( CK = 10 \).

По свойству биссектрисы:

\[ \frac{AB}{AD} = \frac{BK}{CK} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \]

Это означает, что существует отношение между сторонами:

Пусть \( AB = 3k \) и \( AD = 5k \). Теперь периметр \( P \):

\[ P = 2(AB + AD) = 2(3k + 5k) = 16k \]

Теперь определим \( k \) через \( BK + CK \):

\[ BK + CK = 16 \Rightarrow BC = 16 \Rightarrow 16 = 3k + 5k \]

Поэтому:

\[ 8k = 16 \Rightarrow k = 2 \]

Теперь подставим \( k \) в периметр:

\[ P = 16 \cdot 2 = 32 \]

Ответ: 32.

---

11. Точка M— середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника ABM равна половине площади трапеции.

Обозначим основания трапеции \( AB \) и \( CD \) за \( a \) и \( b \) соответственно, а высоту трапеции — за \( h \).

Площадь трапеции можно вычислить по формуле:

\[ S_{trapezium} = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h \]

Площадь треугольника ABM содержит сторону \( AB \) и высоту из точки \( M \) на \( AB \).

Так как точка \( M \) — середина \( CD \):

\[ S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \left(\frac{h}{2}\right) = \frac{1}{4} \cdot a \cdot h \]

Теперь сравниваем площади:

\[ S_{ABM} = \frac{1}{4}ah, \quad S_{trapezium} = \frac{1}{2}(a + b)h \]

Учитывая то, что \( b = 2M \):

\[ S_{trapezium} = \frac{1}{2}(a + 2M)h \]

Следовательно:

Площадь треугольника равна половине площади трапеции.

Таким образом, \( S_{ABM} = \frac{1}{2}S_{trapezium} \) — верно.

Ответ: Доказано.

Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется более подробное объяснение, пожалуйста, дайте знать!