Проведено выборочное обследование участников олимпиады Баллы 3-5 5-7 7-9 9-11 11-13 15 13-15 5 Число участников 10 35 43 22 Найти средний балл участников, несмещенную оценку…

Давайте разберем данные о баллах участников олимпиады и найдем запрашиваемые статистические характеристики.

Данные:

• Баллы:
  • 3-5: 10 участников
  • 5-7: 35 участников
  • 7-9: 43 участника
  • 9-11: 22 участника
  • 11-13: 15 участников
  • 13-15: 5 участников

1. Средний балл участников

Для нахождения среднего балла, нам нужно сначала найти весовые значения для каждого интервала баллов. Мы возьмем среднее значение каждого интервала:

• Для интервала 3-5: (3+5)/2 = 4
• Для интервала 5-7: (5+7)/2 = 6
• Для интервала 7-9: (7+9)/2 = 8
• Для интервала 9-11: (9+11)/2 = 10
• Для интервала 11-13: (11+13)/2 = 12
• Для интервала 13-15: (13+15)/2 = 14

Теперь умножим количество участников на среднее значение интервала и находим общую сумму:

\[ (10 \times 4) + (35 \times 6) + (43 \times 8) + (22 \times 10) + (15 \times 12) + (5 \times 14) \] \[ = 40 + 210 + 344 + 220 + 180 + 70 = 1064 \]

Общее количество участников: \[ 10 + 35 + 43 + 22 + 15 + 5 = 130 \]

Теперь находим средний балл: \[ \text{Средний балл} = \frac{1064}{130} \approx 8.18 \]

2. Несмещенная оценка генеральной дисперсии

Для нахождения несмещенной оценки дисперсии, используем формулу:

\[ S^2 = \frac{\sum (n_i \cdot (x_i - \bar{x})^2)}{N - 1} \]

где \( N \) – общее количество участников, \( n_i \) – количество участников в интервале, \( x_i \) – средние значения интервалов и \( \bar{x} \) – средний балл.

Подсчитаем \( (x_i - \bar{x})^2 \):

• Для 3-5: \( (4 - 8.18)^2 \approx 17.4724 \)
• Для 5-7: \( (6 - 8.18)^2 \approx 4.7684 \)
• Для 7-9: \( (8 - 8.18)^2 \approx 0.0324 \)
• Для 9-11: \( (10 - 8.18)^2 \approx 3.2976 \)
• Для 11-13: \( (12 - 8.18)^2 \approx 14.7844 \)
• Для 13-15: \( (14 - 8.18)^2 \approx 33.6644 \)

Теперь считаем: \[ \sum (n_i \cdot (x_i - \bar{x})^2) = 10 \cdot 17.4724 + 35 \cdot 4.7684 + 43 \cdot 0.0324 + 22 \cdot 3.2976 + 15 \cdot 14.7844 + 5 \cdot 33.6644 \] \[ = 174.724 + 166.894 + 1.39 + 72.552 + 221.766 + 168.322 = 805.554 \]

Теперь можем найти \( S^2 \): \[ S^2 = \frac{805.554}{130 - 1} = \frac{805.554}{129} \approx 6.2494 \]

3. Мода

Мода – это значение, которое встречается наиболее часто. В нашем случае это интервал с наибольшим количеством участников:

• Интервал 7-9 имеет 43 участника, поэтому мода равна 7-9.

4. Медиана

Чтобы найти медиану, нужно определить, в каком интервале находится 65-й участник (половина от 130). Накапливаем участников:

• 3-5: 10
• 5-7: 10 + 35 = 45
• 7-9: 45 + 43 = 88

Таким образом, 65-й участник находится в интервале 7-9, значит медиана тоже будет 7-9.

Итоговые результаты:

• Средний балл: примерно 8.18
• Несмещенная дисперсия: примерно 6.25
• Мода: 7-9
• Медиана: 7-9

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно больше объяснений по другим темам, не стесняйтесь спрашивать!