Проведено выборочное обследование участников олимпиады Баллы 3-5 5-7 7-9 9-11 11-13 15 13-15 5 Число участников 10 35 43 22 Найти средний балл участников, несмещенную оценку генеральной дисперсии, моду и медиану

Давайте решим задачу по статистике, которая включает в себя вычисление среднего балла, несмещенной оценки генеральной дисперсии, моды и медианы для участников олимпиады. Для начала мы организуем данные в удобном виде: | Баллы | Число участников | |---------|------------------| | 3-5 | 10 | | 5-7 | 35 | | 7-9 | 43 | | 9-11 | 22 | | 11-13 | 5 | | 13-15 | 5 | ### 1. Средний балл Чтобы найти средний балл, нужно вычислить взвешенное среднее. Для этого найдем «среднее значение» каждого диапазона и умножим его на количество участников: - Для диапазона 3-5: (3 + 5) / 2 = 4, количество участников = 10 → 4 * 10 = 40 - Для диапазона 5-7: (5 + 7) / 2 = 6, количество участников = 35 → 6 * 35 = 210 - Для диапазона 7-9: (7 + 9) / 2 = 8, количество участников = 43 → 8 * 43 = 344 - Для диапазона 9-11: (9 + 11) / 2 = 10, количество участников = 22 → 10 * 22 = 220 - Для диапазона 11-13: (11 + 13) / 2 = 12, количество участников = 5 → 12 * 5 = 60 - Для диапазона 13-15: (13 + 15) / 2 = 14, количество участников = 5 → 14 * 5 = 70 Теперь сложим все полученные произведения и поделим на общее количество участников: Сумма: 40 + 210 + 344 + 220 + 60 + 70 = 944 Общее количество участников: 10 + 35 + 43 + 22 + 5 + 5 = 120 Теперь найдем средний балл: \[ \text{Средний балл} = \frac{944}{120} \approx 7.87 \] ### 2. Несмещенная оценка генеральной дисперсии Для вычисления несмещенной оценки генеральной дисперсии, сначала найдем среднее квадратичное отклонение для каждой группы, сметируя их вес. Мы будем использовать следующую формулу: \[ D = \frac{1}{N - 1} \sum (x_i - \overline{x})^2 \cdot n_i \] Где \( x_i \) - среднее для группы, \( n_i \) - количество участников в группе, \( \overline{x} \) - общее среднее, и \( N \) - общее число участников. Используем уже найденные средние значения для групп: - Для 3-5: \( (4 - 7.87)^2 \cdot 10 = (3.87)^2 \cdot 10 \approx 149.69 \) - Для 5-7: \( (6 - 7.87)^2 \cdot 35 = (1.87)^2 \cdot 35 \approx 122.01 \) - Для 7-9: \( (8 - 7.87)^2 \cdot 43 = (0.13)^2 \cdot 43 \approx 0.73 \) - Для 9-11: \( (10 - 7.87)^2 \cdot 22 = (2.13)^2 \cdot 22 \approx 99.02 \) - Для 11-13: \( (12 - 7.87)^2 \cdot 5 = (4.13)^2 \cdot 5 \approx 85.50 \) - Для 13-15: \( (14 - 7.87)^2 \cdot 5 = (6.13)^2 \cdot 5 \approx 187.82 \) Сложим все результаты: \[ 149.69 + 122.01 + 0.73 + 99.02 + 85.50 + 187.82 = 644.77 \] Теперь нахожим дисперсию: \[ D = \frac{644.77}{120 - 1} \approx 5.44 \] ### 3. Мода Мода — это значение, которое встречается наиболее часто. В данном случае, это диапазон с наибольшим количеством участников: - Наибольшее количество участников у диапазона 7-9, с 43 участниками. - Таким образом, мода равна диапазону 7-9. ### 4. Медиана Для нахождения медианы, мы сначала складываем количество участников по группам до тех пор, пока не достигнем середины: 1. 10 (3-5) 2. 10 + 35 = 45 (5-7) 3. 45 + 43 = 88 (7-9) Так как общее количество участников - 120, медиа́нный порядковый номер будет 60-й участник. Поскольку 60-й участник попадает в диапазон 7-9 (где участников 45-88), это означает, что медиана также находится в диапазоне 7-9. ### Результаты - **Средний балл**: ≈ 7.87 - **Несмещенная оценка генеральной дисперсии**: ≈ 5.44 - **Мода**: 7-9 (43 участника) - **Медиана**: 7-9 Если есть дополнительные вопросы или если что-то осталось непонятным, не стесняйтесь спрашивать!