Проведено выборочное обследование участников олимпиады Баллы 3-5 5-7 7-9 9-11 11-13 15 13-15 5 Число участников 10 35 43 22 Найти средний балл участников, несмещенную оценку…
Проведено выборочное обследование участников олимпиады Баллы 3-5 5-7 7-9 9-11 11-13 15 13-15 5 Число участников 10 35 43 22 Найти средний балл участников, несмещенную оценку генеральной дисперсии, моду и медиану
Давайте решим задачу по статистике, которая включает в себя вычисление среднего балла, несмещенной оценки генеральной дисперсии, моды и медианы для участников олимпиады.
Для начала мы организуем данные в удобном виде:
| Баллы | Число участников |
|---|---|
| 3-5 | 10 |
| 5-7 | 35 |
| 7-9 | 43 |
| 9-11 | 22 |
| 11-13 | 5 |
| 13-15 | 5 |
1. Средний балл
Чтобы найти средний балл, нужно вычислить взвешенное среднее. Для этого найдем «среднее значение» каждого диапазона и умножим его на количество участников:
- Для диапазона 3-5: (3 + 5) / 2 = 4, количество участников = 10 → 4 * 10 = 40
- Для диапазона 5-7: (5 + 7) / 2 = 6, количество участников = 35 → 6 * 35 = 210
- Для диапазона 7-9: (7 + 9) / 2 = 8, количество участников = 43 → 8 * 43 = 344
- Для диапазона 9-11: (9 + 11) / 2 = 10, количество участников = 22 → 10 * 22 = 220
- Для диапазона 11-13: (11 + 13) / 2 = 12, количество участников = 5 → 12 * 5 = 60
- Для диапазона 13-15: (13 + 15) / 2 = 14, количество участников = 5 → 14 * 5 = 70
Теперь сложим все полученные произведения и поделим на общее количество участников:
Сумма: 40 + 210 + 344 + 220 + 60 + 70 = 944
Общее количество участников: 10 + 35 + 43 + 22 + 5 + 5 = 120
Теперь найдем средний балл: \[ \text{Средний балл} = \frac{944}{120} \approx 7.87 \]
2. Несмещенная оценка генеральной дисперсии
Для вычисления несмещенной оценки генеральной дисперсии, сначала найдем среднее квадратичное отклонение для каждой группы, сметируя их вес. Мы будем использовать следующую формулу:
\[ D = \frac{1}{N - 1} \sum (x_i - \overline{x})^2 \cdot n_i \]
Где \( x_i \) - среднее для группы, \( n_i \) - количество участников в группе, \( \overline{x} \) - общее среднее, и \( N \) - общее число участников.
Используем уже найденные средние значения для групп:
- Для 3-5: \( (4 - 7.87)^2 \cdot 10 = (3.87)^2 \cdot 10 \approx 149.69 \)
- Для 5-7: \( (6 - 7.87)^2 \cdot 35 = (1.87)^2 \cdot 35 \approx 122.01 \)
- Для 7-9: \( (8 - 7.87)^2 \cdot 43 = (0.13)^2 \cdot 43 \approx 0.73 \)
- Для 9-11: \( (10 - 7.87)^2 \cdot 22 = (2.13)^2 \cdot 22 \approx 99.02 \)
- Для 11-13: \( (12 - 7.87)^2 \cdot 5 = (4.13)^2 \cdot 5 \approx 85.50 \)
- Для 13-15: \( (14 - 7.87)^2 \cdot 5 = (6.13)^2 \cdot 5 \approx 187.82 \)
Сложим все результаты: \[ 149.69 + 122.01 + 0.73 + 99.02 + 85.50 + 187.82 = 644.77 \]
Теперь нахожим дисперсию: \[ D = \frac{644.77}{120 - 1} \approx 5.44 \]
3. Мода
Мода — это значение, которое встречается наиболее часто. В данном случае, это диапазон с наибольшим количеством участников:
- Наибольшее количество участников у диапазона 7-9, с 43 участниками.
- Таким образом, мода равна диапазону 7-9.
4. Медиана
Для нахождения медианы, мы сначала складываем количество участников по группам до тех пор, пока не достигнем середины:
- 10 (3-5)
- 10 + 35 = 45 (5-7)
- 45 + 43 = 88 (7-9)
Так как общее количество участников - 120, медиа́нный порядковый номер будет 60-й участник.
Поскольку 60-й участник попадает в диапазон 7-9 (где участников 45-88), это означает, что медиана также находится в диапазоне 7-9.
Результаты
- Средний балл: ≈ 7.87
- Несмещенная оценка генеральной дисперсии: ≈ 5.44
- Мода: 7-9 (43 участника)
- Медиана: 7-9
Если есть дополнительные вопросы или если что-то осталось непонятным, не стесняйтесь спрашивать!
