Начнем с 7 задачи. На рисунке изображен треугольник ABC с высотой CD. Нам нужно найти площадь треугольника ABC.
Для начала вспомним формулу площади треугольника через основание и высоту: S = 1/2 * основание * высота.
Так как AC = BC (по условию задачи), треугольник ABC является равнобедренным, и высота CD является также медианой и биссектрисой.
Теперь у нас есть соотношение отрезков: CD:DA = 3:2. Обозначим CD = 3х и DA = 2х, тогда AD + DC = AC = 3х + 2х = 5х.
Чтобы найти площадь треугольника ABC, нам нужно знать длину основания AC и высоту CD. У нас уже есть соотношение для высоты CD, и основание AC является равным двум длинам отрезков DA, то есть AC = 2 * AD = 2 * 2x = 4x.
Теперь у нас есть все данные, чтобы найти площадь треугольника ABC. Давай заменим x на CD/3 для удобства подсчетов.
Площадь равна S = 1/2 * AC * CD = 1/2 * 4x * 3x (здесь x = CD/3), подставляем и сокращаем:
S = 1/2 * 4 * (CD/3) * CD = 2 * (CD/3) * CD = 2 * (CD^2/3) = (2/3) * CD^2.
К сожалению, мы не можем найти точное числовое значение площади без длины CD, но мы нашли формулу для вычисления площади, если нам известна высота CD.
Переходим к 8 задаче. У нас есть окружность с центром O, и две хорды KM и KN, равные друг другу и равные 16 метров. Нам нужно найти радиус окружности.
Исходя из рисунка, ∠KON — центральный и равен 120°. По свойству равных хорд, радиусы окружности, опущенные на равные хорды, перпендикулярны хордам и бьют их пополам.
Таким образом, OM и ON перпендикулярны KM и KN и делят их пополам. Получается, что MK = KN = 16 м, значит MO = NO = 8 м (половина длины хорды).
Теперь получаем, что треугольник MON прямоугольный с углом при вершине O равным 120°, и мы можем рассматривать его как часть равностороннего треугольника с углами 60°.
Чтобы найти радиус окружности, рассмотрим треугольник KOM. Угол KOM равен 1/2 от центрального угла KON, то есть 60°. Треугольник KOM — равнобедренный, значит KO = OM = r (радиус окружности). Получили, что OM — это полурадиус.
Итак, рассмотрим треугольник MON, где MN равно половине хорды KN, или 8 м. Используя теорему Пифагора, мы можем найти радиус окружности:
ON^2 = OM^2 + MN^2
r^2 = r^2/4 + 64
Умножаем обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя:
4r^2 = r^2 + 256
3r^2 = 256
r^2 = 256/3
r = √(256/3)
r ≈ 9.2376 м (округленно).
Ответ: радиус окружности равен примерно 9.24 метра.
