Поверхности, объем цилиндра. 2. Найдите площадь полной поверхности и объем тела полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетами 6 см и 8 см вокруг большего из них.

Давайте разберем вашу задачу по порядку. Нам нужно найти площадь полной поверхности и объем тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетами 6 см и 8 см вокруг большего из них. 1. **Определение катетов**: В данном случае катеты треугольника равны 6 см и 8 см. Здесь 8 см — больший катет. 2. **Объем тела вращения**: Когда прямоугольный треугольник вращается вокруг большего катета (8 см), он образует конус. Объем конуса (V) вычисляется по формуле: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \] где \( r \) — радиус основания (в данном случае это один из катетов, 6 см), а \( h \) — высота (это больший катет, 8 см). Подставим значения: \[ V = \frac{1}{3} \pi (6)^2 (8) = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \cdot 8 = \frac{1}{3} \cdot 288 \pi = 96 \pi \, \text{см}^3 \] 3. **Площадь полной поверхности**: Площадь полной поверхности конуса (S) состоит из площади основания и боковой поверхности. Общая формула выглядит следующим образом: \[ S = S_{основания} + S_{боковая} \] - Площадь основания (круга): \[ S_{основания} = \pi r^2 = \pi (6)^2 = 36 \pi \, \text{см}^2 \] - Для вычисления боковой поверхности нужен slant height (генераторная), которую можно найти с помощью теоремы Пифагора. Генераторная \( l \) равна: \[ l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{(6)^2 + (8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \, \text{см} \] - Боковая поверхность: \[ S_{боковая} = \pi r l = \pi \cdot 6 \cdot 10 = 60 \pi \, \text{см}^2 \] 4. **Теперь подведем итог по площади полной поверхности**: \[ S = S_{основания} + S_{боковая} = 36 \pi + 60 \pi = 96 \pi \, \text{см}^2 \] Таким образом, объем тела, образованного вращением, равен \( 96 \pi \, \text{см}^3 \), а площадь полной поверхности равна \( 96 \pi \, \text{см}^2 \).