поверхности, объем цилиндра. 2. Найдите площадь полной поверхности и объем тела полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетами 6 см и 8 см вокруг большего из них.
Давайте разберем вашу задачу по порядку. Нам нужно найти площадь полной поверхности и объем тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетами 6 см и 8 см вокруг большего из них.
Определение катетов: В данном случае катеты треугольника равны 6 см и 8 см. Здесь 8 см — больший катет.
Объем тела вращения: Когда прямоугольный треугольник вращается вокруг большего катета (8 см), он образует конус. Объем конуса (V) вычисляется по формуле:
\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \]
где \( r \) — радиус основания (в данном случае это один из катетов, 6 см), а \( h \) — высота (это больший катет, 8 см).
Подставим значения:
\[ V = \frac{1}{3} \pi (6)^2 (8) = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \cdot 8 = \frac{1}{3} \cdot 288 \pi = 96 \pi \, \text{см}^3 \]
Площадь полной поверхности: Площадь полной поверхности конуса (S) состоит из площади основания и боковой поверхности. Общая формула выглядит следующим образом:
\[ S = S_{основания} + S_{боковая} \]
- Площадь основания (круга):
\[ S_{основания} = \pi r^2 = \pi (6)^2 = 36 \pi \, \text{см}^2 \]
- Для вычисления боковой поверхности нужен slant height (генераторная), которую можно найти с помощью теоремы Пифагора. Генераторная \( l \) равна:
\[ l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{(6)^2 + (8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \, \text{см} \]
- Боковая поверхность:
\[ S_{боковая} = \pi r l = \pi \cdot 6 \cdot 10 = 60 \pi \, \text{см}^2 \]
Теперь подведем итог по площади полной поверхности:
\[ S = S_{основания} + S_{боковая} = 36 \pi + 60 \pi = 96 \pi \, \text{см}^2 \]
Таким образом, объем тела, образованного вращением, равен \( 96 \pi \, \text{см}^3 \), а площадь полной поверхности равна \( 96 \pi \, \text{см}^2 \).
