Проведено выборочное обследование участников олимпиады Баллы 3-5 5-7 7-9 9-11 11-13 13-15 Число участников 10 35 43 22 15 5 Найти средний балл участников, несмещенную оценку…

Чтобы найти средний балл участников, несмещенную оценку генеральной дисперсии, моду и медиану, мы сначала соберем данные, а затем проведем необходимые вычисления.

1. Расчет среднего балла

Сначала найдем средний балл. Для этого рассчитаем средневзвешенное значение:

Сгруппируем данные:

• Баллы: 4 (среднее между 3 и 5), 6 (среднее между 5 и 7), 8 (среднее между 7 и 9), 10 (среднее между 9 и 11), 12 (среднее между 11 и 13), 14 (среднее между 13 и 15).
• Число участников: 10, 35, 43, 22, 15, 5.

Теперь расставим данные по формуле:

\[ \text{Средний балл} = \frac{\sum (x_i \cdot n_i)}{N} \]

где \(x_i\) — средний балл группы, \(n_i\) — количество участников в группе, а \(N\) — общее количество участников.

Рассмотрим все группы:

\[ \begin{align*} \text{Средний балл} & = \frac{(4 \cdot 10) + (6 \cdot 35) + (8 \cdot 43) + (10 \cdot 22) + (12 \cdot 15) + (14 \cdot 5)}{10 + 35 + 43 + 22 + 15 + 5} \\ & = \frac{40 + 210 + 344 + 220 + 180 + 70}{130} \\ & = \frac{1064}{130} \\ & \approx 8.2. \end{align*} \]

2. Расчет несмещенной оценки генеральной дисперсии

Несмещенная дисперсия рассчитывается по формуле:

\[ S^2 = \frac{\sum n_i (x_i - M)^2}{N - 1} \]

где \(M\) — средний балл, \(N\) — общее количество участников.

Сначала найдем отклонения от среднего:

1. \(x_1=4: (4 - 8.2)^2 = 17.64\)
2. \(x_2=6: (6 - 8.2)^2 = 4.84\)
3. \(x_3=8: (8 - 8.2)^2 = 0.04\)
4. \(x_4=10: (10 - 8.2)^2 = 3.24\)
5. \(x_5=12: (12 - 8.2)^2 = 14.58\)
6. \(x_6=14: (14 - 8.2)^2 = 33.64\)

Теперь подставим в формулу:

\[ \begin{align*} S^2 & = \frac{10 \cdot 17.64 + 35 \cdot 4.84 + 43 \cdot 0.04 + 22 \cdot 3.24 + 15 \cdot 14.58 + 5 \cdot 33.64}{130 - 1} \\ & = \frac{176.4 + 169.4 + 1.72 + 71.28 + 218.7 + 168.2}{129} \\ & = \frac{805.72}{129} \\ & \approx 6.24. \end{align*} \]

3. Поиск моды

Мода — это значение, которое встречается чаще всего. В нашем случае:

• 3-5: 10 участников
• 5-7: 35 участников
• 7-9: 43 участника (максимум, следовательно, мода равна 8)
• 9-11: 22 участника
• 11-13: 15 участников
• 13-15: 5 участников

Следовательно, мода = 8.

4. Поиск медианы

Чтобы найти медиану, отсортируем данные:

Сложим участников по группам:

• 10 (3-5)
• 35 (5-7) = 45
• 43 (7-9) = 88
• 22 (9-11) = 110
• 15 (11-13) = 125
• 5 (13-15) = 130

Медиана находится на позиции \( \frac{N + 1}{2} = \frac{130 + 1}{2} = 65.5 \).

Это означает, что медиана находится между 7 и 9 (так как до 7 набралось 45 участников, а до 9 — 88). Значит, медиана = 8.

Результаты:

• Средний балл: 8.2
• Несмещенная дисперсия: 6.24
• Мода: 8
• Медиана: 8

Если возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!