Чтобы найти средний балл участников, несмещенную оценку генеральной дисперсии, моду и медиану, мы сначала соберем данные, а затем проведем необходимые вычисления.
1. Расчет среднего балла
Сначала найдем средний балл. Для этого рассчитаем средневзвешенное значение:
Сгруппируем данные:
- Баллы: 4 (среднее между 3 и 5), 6 (среднее между 5 и 7), 8 (среднее между 7 и 9), 10 (среднее между 9 и 11), 12 (среднее между 11 и 13), 14 (среднее между 13 и 15).
- Число участников: 10, 35, 43, 22, 15, 5.
Теперь расставим данные по формуле:
[
\text{Средний балл} = \frac{\sum (x_i \cdot n_i)}{N}
]
где (x_i) — средний балл группы, (n_i) — количество участников в группе, а (N) — общее количество участников.
Рассмотрим все группы:
[
\begin{align*}
\text{Средний балл} & = \frac{(4 \cdot 10) + (6 \cdot 35) + (8 \cdot 43) + (10 \cdot 22) + (12 \cdot 15) + (14 \cdot 5)}{10 + 35 + 43 + 22 + 15 + 5} \
& = \frac{40 + 210 + 344 + 220 + 180 + 70}{130} \
& = \frac{1064}{130} \
& \approx 8.2.
\end{align*}
]
2. Расчет несмещенной оценки генеральной дисперсии
Несмещенная дисперсия рассчитывается по формуле:
[
S^2 = \frac{\sum n_i (x_i - M)^2}{N - 1}
]
где (M) — средний балл, (N) — общее количество участников.
Сначала найдем отклонения от среднего:
- (x_1=4: (4 - 8.2)^2 = 17.64)
- (x_2=6: (6 - 8.2)^2 = 4.84)
- (x_3=8: (8 - 8.2)^2 = 0.04)
- (x_4=10: (10 - 8.2)^2 = 3.24)
- (x_5=12: (12 - 8.2)^2 = 14.58)
- (x_6=14: (14 - 8.2)^2 = 33.64)
Теперь подставим в формулу:
[
\begin{align*}
S^2 & = \frac{10 \cdot 17.64 + 35 \cdot 4.84 + 43 \cdot 0.04 + 22 \cdot 3.24 + 15 \cdot 14.58 + 5 \cdot 33.64}{130 - 1} \
& = \frac{176.4 + 169.4 + 1.72 + 71.28 + 218.7 + 168.2}{129} \
& = \frac{805.72}{129} \
& \approx 6.24.
\end{align*}
]
3. Поиск моды
Мода — это значение, которое встречается чаще всего. В нашем случае:
- 3-5: 10 участников
- 5-7: 35 участников
- 7-9: 43 участника (максимум, следовательно, мода равна 8)
- 9-11: 22 участника
- 11-13: 15 участников
- 13-15: 5 участников
Следовательно, мода = 8.
4. Поиск медианы
Чтобы найти медиану, отсортируем данные:
Сложим участников по группам:
- 10 (3-5)
- 35 (5-7) = 45
- 43 (7-9) = 88
- 22 (9-11) = 110
- 15 (11-13) = 125
- 5 (13-15) = 130
Медиана находится на позиции ( \frac{N + 1}{2} = \frac{130 + 1}{2} = 65.5 ).
Это означает, что медиана находится между 7 и 9 (так как до 7 набралось 45 участников, а до 9 — 88). Значит, медиана = 8.
Результаты:
- Средний балл: 8.2
- Несмещенная дисперсия: 6.24
- Мода: 8
- Медиана: 8
Если возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!
