Чтобы решить уравнение ((1/4)^{4x+3} = 125), начнем с того, чтобы выразить обе стороны уравнения в одинаковом основании.
Сначала перепишем 125 как степень 5:
[
125 = 5^3
]
Теперь перепишем ( \frac{1}{4} ) как степень 4:
[
\frac{1}{4} = 4^{-1} = 2^{-2}
]
Таким образом,
[
(1/4)^{4x+3} = (2^{-2})^{4x+3} = 2^{-2(4x+3)} = 2^{-8x-6}
]
Теперь у нас есть:
[
2^{-8x-6} = 5^3
]
Теперь заметим, что у нас разные основания. Применим логарифмическое преобразование для решения этого уравнения. Мы можем взять логарифм по основанию 2 от обеих сторон:
[
-8x - 6 = \log_2(5^3)
]
Используя свойства логарифмов, получаем:
[
-8x - 6 = 3 \log_2(5)
]
Теперь решим по (x):
[
-8x = 3 \log_2(5) + 6
]
[
x = \frac{-3 \log_2(5) - 6}{8}
]
Таким образом, окончательное решение будет:
[
x = \frac{-3 \log_2(5) - 6}{8}
]
Если вам нужно численное значение для (x), вы можете вычислить логарифм ( \log_2(5) ) и подставить его значение в формулу.
