√x²-4x+12≥3x

Давайте решим неравенство \(\sqrt{x^2 - 4x + 12} \geq 3x\). 1. **Упрощение**: Начнем с упрощения выражения под корнем. Мы можем выразить его следующим образом: \[ x^2 - 4x + 12 = (x - 2)^2 + 8, \] что показывает, что подкоренное выражение всегда положительно, так как \((x - 2)^2\) всегда неотрицательно, а 8 добавляет положительное значение. 2. **Решение неравенства**: Теперь запишем неравенство: \[ \sqrt{(x - 2)^2 + 8} \geq 3x. \] Чтобы убрать корень, возведем обе стороны в квадрат: \[ (x - 2)^2 + 8 \geq (3x)^2, \] что даёт: \[ (x - 2)^2 + 8 \geq 9x^2. \] 3. **Раскроем скобки**: \[ x^2 - 4x + 4 + 8 \geq 9x^2, \] сокращая, получаем: \[ 12 - 4x \geq 8x^2. \] Поменяем местами все термины: \[ 8x^2 + 4x - 12 \leq 0. \] 4. **Найдем корни квадратного уравнения**: Для этого подставим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-12) = 16 + 384 = 400. \] Таким образом, корни будут равны: \[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 20}{16} = -\frac{24}{16} = -\frac{3}{2}, \] \[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 20}{16} = \frac{16}{16} = 1. \] 5. **Определяем интервалы**: Мы имеем корни \(x_1 = -\frac{3}{2}\) и \(x_2 = 1\). Для нахождения знака многочлена \(8x^2 + 4x - 12\) будем рассматривать интервалы: - \( (-\infty, -\frac{3}{2}) \) - \( (-\frac{3}{2}, 1) \) - \( (1, +\infty) \) Проведя тестовые точки: - Для \(x = -2\) (в первом интервале), \(8(-2)^2 + 4(-2) - 12 = 32 - 8 - 12 > 0\) (положительно). - Для \(x = 0\) (во втором интервале), \(8(0)^2 + 4(0) - 12 = -12 < 0\) (отрицательно). - Для \(x = 2\) (в третьем интервале), \(8(2)^2 + 4(2) - 12 = 32 + 8 - 12 > 0\) (положительно). 6. **Записываем итог**: Неравенство \(8x^2 + 4x - 12 \leq 0\) выполняется в диапазоне \([-1.5, 1]\). Таким образом, итоговый ответ: \[ x \in \left[-\frac{3}{2}, 1\right]. \] Если у вас есть другие вопросы или нужно больше объяснений, пожалуйста, дайте знать!