√x²-4x+12≥3x

Давайте решим неравенство \(\sqrt{x^2 - 4x + 12} \geq 3x\).

1. Упрощение: Начнем с упрощения выражения под корнем. Мы можем выразить его следующим образом: \[ x^2 - 4x + 12 = (x - 2)^2 + 8, \] что показывает, что подкоренное выражение всегда положительно, так как \((x - 2)^2\) всегда неотрицательно, а 8 добавляет положительное значение.

2. Решение неравенства: Теперь запишем неравенство: \[ \sqrt{(x - 2)^2 + 8} \geq 3x. \] Чтобы убрать корень, возведем обе стороны в квадрат: \[ (x - 2)^2 + 8 \geq (3x)^2, \] что даёт: \[ (x - 2)^2 + 8 \geq 9x^2. \]

3. Раскроем скобки: \[ x^2 - 4x + 4 + 8 \geq 9x^2, \] сокращая, получаем: \[ 12 - 4x \geq 8x^2. \] Поменяем местами все термины: \[ 8x^2 + 4x - 12 \leq 0. \]

4. Найдем корни квадратного уравнения: Для этого подставим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-12) = 16 + 384 = 400. \] Таким образом, корни будут равны: \[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 20}{16} = -\frac{24}{16} = -\frac{3}{2}, \] \[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 20}{16} = \frac{16}{16} = 1. \]

5. Определяем интервалы: Мы имеем корни \(x_1 = -\frac{3}{2}\) и \(x_2 = 1\). Для нахождения знака многочлена \(8x^2 + 4x - 12\) будем рассматривать интервалы:

   • \( (-\infty, -\frac{3}{2}) \)
   • \( (-\frac{3}{2}, 1) \)
   • \( (1, +\infty) \)

   Проведя тестовые точки:

   • Для \(x = -2\) (в первом интервале), \(8(-2)^2 + 4(-2) - 12 = 32 - 8 - 12 > 0\) (положительно).
   • Для \(x = 0\) (во втором интервале), \(8(0)^2 + 4(0) - 12 = -12 < 0\) (отрицательно).
   • Для \(x = 2\) (в третьем интервале), \(8(2)^2 + 4(2) - 12 = 32 + 8 - 12 > 0\) (положительно).

6. Записываем итог: Неравенство \(8x^2 + 4x - 12 \leq 0\) выполняется в диапазоне \([-1.5, 1]\).

Таким образом, итоговый ответ: \[ x \in \left[-\frac{3}{2}, 1\right]. \]

Если у вас есть другие вопросы или нужно больше объяснений, пожалуйста, дайте знать!