Используя признаки подобия треугольников докажите что медианны треугольника в точке их пересечения делятся в отношении 2 : 1 считая от вершины

Для доказательства того, что медианы треугольника делятся в точке их пересечения в отношении 2:1, учитывая вершину, давайте рассмотрим треугольник \(ABC\) и обозначим точки его медиан. 1. **Определение медиан**: Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Обозначим медианы \(AD\), \(BE\) и \(CF\), где \(D\), \(E\) и \(F\) — середины сторон \(BC\), \(AC\) и \(AB\) соответственно. 2. **Координатная система**: Для упрощения доказательства можно установить координаты вершин треугольника. Пусть, например, точки имеют такие координаты: - \(A(0, 0)\) - \(B(2a, 0)\) - \(C(2b, 2h)\) Тогда координаты середины отрезка \(BC\) (точка \(D\)) будут равны: \[ D\left(\frac{2a + 2b}{2}, \frac{0 + 2h}{2}\right) = (a + b, h). \] 3. **Координаты медиан**: Теперь найдем уравнение медиан: - Медиана \(AD\) идет от \(A(0, 0)\) к \(D(a + b, h)\). - Медиану \(BE\) можно выразить аналогично, находим координаты точки \(E\), являющейся серединой отрезка \(AC\). 4. **Пересечение медиан**: Пусть точка пересечения медиан обозначается как \(G\). Чтобы найти \(G\), можно воспользоваться тем фактом, что оно делит каждую медиану в отношении 2:1. Выражая это в координатах, мы можем записать: \[ G = \left(\frac{2D + A}{3}\right) = \left(\frac{2(a + b) + 0}{3}, \frac{2h + 0}{3}\right) = \left(\frac{2(a + b)}{3}, \frac{2h}{3}\right). \] 5. **Расстояния от точки пересечения до вершин**: Теперь найдем расстояния от точки \(G\) до точек \(A\) и \(D\): - Расстояние от \(G\) до \(A\): \[ GA = \sqrt{\left(\frac{2(a + b)}{3} - 0\right)^2 + \left(\frac{2h}{3} - 0\right)^2} = \frac{1}{3}\sqrt{(2(a + b))^2 + (2h)^2} = \frac{2}{3}\cdot\sqrt{(a + b)^2 + h^2}. \] - Расстояние от \(G\) до \(D\) (середины): \[ GD = \sqrt{\left(\frac{2(a + b)}{3} - (a + b)\right)^2 + \left(\frac{2h}{3} - h\right)^2} = \sqrt{\left(-\frac{(a + b)}{3}\right)^2 + \left(-\frac{h}{3}\right)^2} = \frac{1}{3}\sqrt{(a + b)^2 + h^2}. \] 6. **Отношение**: Теперь рассчитаем отношение \(GA\) к \(GD\): \[ \frac{GA}{GD} = \frac{\frac{2}{3}\sqrt{(a + b)^2 + h^2}}{\frac{1}{3}\sqrt{(a + b)^2 + h^2}} = 2. \] Таким образом, медианы треугольника действительно делятся в точке их пересечения в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. Это завершает доказательство.