3) Определите угол А треугольника, вершинами которого являются точки А(1; -1; 3), B(3; -1; 1), C(-1; 1; 3)

Чтобы определить угол \( A \) треугольника с вершинами в точках \( A(1; -1; 3) \), \( B(3; -1; 1) \) и \( C(-1; 1; 3) \), необходимо воспользоваться векторным методом. Мы начнем с нахождения векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \).

1. Вычислим векторы:

   • Вектор \( \vec{AB} \): \[ \vec{AB} = B - A = (3 - 1; -1 - (-1); 1 - 3) = (2; 0; -2) \]

   • Вектор \( \vec{AC} \): \[ \vec{AC} = C - A = (-1 - 1; 1 - (-1); 3 - 3) = (-2; 2; 0) \]

2. Найдем длины этих векторов:

   • Длина \( \vec{AB} \): \[ |\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 0 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \]

   • Длина \( \vec{AC} \): \[ |\vec{AC}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 4 + 0} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \]

3. Вычислим скалярное произведение векторов: \[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 2 \cdot (-2) + 0 \cdot 2 + (-2) \cdot 0 = -4 \]

4. Используем формулу для нахождения косинуса угла между векторами: \[ \cos A = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} = \frac{-4}{(2\sqrt{2})(2\sqrt{2})} = \frac{-4}{8} = -0.5 \]

5. Находим угол \( A \): \[ A = \arccos(-0.5) = 120^\circ \]

Таким образом, угол \( A \) треугольника \(\triangle ABC\) равен \( 120^\circ\).