решите неравенство х²-25/х²-8х+7<0
Решим неравенство \( \frac{x^2 - 25}{x^2 - 8x + 7} < 0 \).
Найдем нули числителя и знаменателя.
Для числителя \( x^2 - 25 = 0 \): \[ x^2 = 25 \implies x = 5 \quad \text{или} \quad x = -5. \]
Для знаменателя \( x^2 - 8x + 7 = 0 \): Используем дискриминант: \[ D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36. \] Корни: \[ x = \frac{8 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{8 \pm 6}{2} \implies x = 7 \quad \text{или} \quad x = 1. \]
Определим важные точки: Мы нашли следующие критические значения:
- Для числителя: \( x = -5 \) и \( x = 5 \)
- Для знаменателя: \( x = 1 \) и \( x = 7 \)
Эти точки разбивают числовую прямую на 5 интервалов:
- \( (-\infty, -5) \)
- \( (-5, 1) \)
- \( (1, 5) \)
- \( (5, 7) \)
- \( (7, +\infty) \)
Проверим знак выражения на каждом интервале: Выбираем тестовые точки из каждого интервала и подставляем их в неравенство:
Интервал \( (-\infty, -5) \): Тестовая точка: \( x = -6 \) \[ \frac{(-6)^2 - 25}{(-6)^2 - 8(-6) + 7} = \frac{36 - 25}{36 + 48 + 7} = \frac{11}{91} > 0. \]
Интервал \( (-5, 1) \): Тестовая точка: \( x = 0 \) \[ \frac{0^2 - 25}{0^2 - 8(0) + 7} = \frac{-25}{7} < 0. \]
Интервал \( (1, 5) \): Тестовая точка: \( x = 2 \) \[ \frac{2^2 - 25}{2^2 - 8(2) + 7} = \frac{4 - 25}{4 - 16 + 7} = \frac{-21}{-5} > 0. \]
Интервал \( (5, 7) \): Тестовая точка: \( x = 6 \) \[ \frac{6^2 - 25}{6^2 - 8(6) + 7} = \frac{36 - 25}{36 - 48 + 7} = \frac{11}{-5} < 0. \]
Интервал \( (7, +\infty) \): Тестовая точка: \( x = 8 \) \[ \frac{8^2 - 25}{8^2 - 8(8) + 7} = \frac{64 - 25}{64 - 64 + 7} = \frac{39}{7} > 0. \]
Соберем результаты: Мы установили, что:
- \( (-\infty, -5) > 0 \)
- \( (-5, 1) < 0 \)
- \( (1, 5) > 0 \)
- \( (5, 7) < 0 \)
- \( (7, +\infty) > 0 \)
Неравенство \( \frac{x^2 - 25}{x^2 - 8x + 7} < 0 \) выполняется на интервалах \( (-5, 1) \) и \( (5, 7) \).
Ответ: Таким образом, решение неравенства: \[ x \in (-5, 1) \cup (5, 7). \]
