Чтобы найти площадь поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, нам необходимо учитывать как площадь основания, так и площади боковых граней.
- Площадь основания: Поскольку основание является квадратом (правильная четырёхугольная пирамида), и стороны основания равны 8, площадь основания ( S_{основания} ) можно вычислить по формуле:
[
S_{основания} = a^2,
]
где ( a ) — длина стороны квадрата. В данном случае:
[
S_{основания} = 8^2 = 64.
]
- Площадь боковых граней: Боковые грани правильной четырёхугольной пирамиды — это треугольники. Так как все боковые ребра равны, высота боковых граней будет одинаковой. Для нахождения площади боковой грани одного треугольника, мы можем использовать формулу:
[
S_{боковой} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h,
]
где ( h ) — высота треугольника, а ( a ) — основание, равное 8.
Чтобы найти высоту ( h ), мы можем использовать теорему Пифагора. Высота треугольника можно найти следующим образом:
- Высота треугольника опускается из вершины пирамиды в центр основания (квадрата). Длина от центра квадрата до угла квадрата (половина стороны) равна ( \frac{a}{2} = \frac{8}{2} = 4 ).
- Теперь используя теорему Пифагора:
[
h_{тр} = \sqrt{b^2 - \left( \frac{a}{2} \right)^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3.
]
Теперь мы можем найти площадь одной боковой грани:
[
S_{боковой} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3 = 12.
]
Так как у нас четыре боковые грани, общая площадь боковых граней будет:
[
S_{боковых} = 4 \cdot S_{боковой} = 4 \cdot 12 = 48.
]
- Общая площадь поверхности пирамиды: Суммируем площади основания и боковых граней:
[
S_{поверхности} = S_{основания} + S_{боковых} = 64 + 48 = 112.
]
Таким образом, площадь поверхности правильной четырёхугольной пирамиды равна 112 квадратных единиц.
