перевести в обыкновенную дробь: а) 0,(5) б) -3,(27) в) 2,1(31)

Для перевода периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби, давайте рассмотрим каждый пример отдельно.

а) 0,(5)

Пусть \( x = 0,5555...\) (где пятерка периодична). Умножим обе стороны уравнения на 10:

\( 10x = 5,5555...\)

Теперь вычтем первое уравнение из второго:

\( 10x - x = 5,5555... - 0,5555...\)

Это дает:

\( 9x = 5\)

Теперь поделим обе стороны на 9:

\( x = \frac{5}{9}\)

Таким образом, \( 0,(5) = \frac{5}{9}\).

б) -3,(27)

Пусть \( x = -3,272727...\) (где 27 периодично). Умножим обе стороны на 100:

\( 100x = -327,272727...\)

Теперь вычтем первое уравнение из второго:

\( 100x - x = -327,272727... - (-3,272727...)\)

Эта операция дает:

\( 99x = -324\)

Теперь поделим обе стороны на 99:

\( x = -\frac{324}{99}\)

Упростим дробь. Находим наибольший общий делитель (НОД) 324 и 99, который равен 9:

\( x = -\frac{36}{11}\)

Таким образом, \( -3,(27) = -\frac{36}{11}\).

в) 2,1(31)

Пусть \( x = 2,131313...\) (где 31 периодично). Сначала выделим целую часть:

\( x = 2 + 0,131313...\)

Теперь сосредоточимся на \( 0,131313...\). Пусть \( y = 0,131313...\).

Умножим обе стороны на 100:

\( 100y = 13,131313...\)

Теперь вычтем первое уравнение из второго:

\( 100y - y = 13,131313... - 0,131313...\)

Это дает:

\( 99y = 13\)

Теперь делим обе стороны на 99:

\( y = \frac{13}{99}\)

Теперь вернемся к \( x\):

\( x = 2 + \frac{13}{99}\)

Чтобы сложить, представим 2 в виде обыкновенной дроби:

\( 2 = \frac{198}{99}\)

Таким образом,

\( x = \frac{198}{99} + \frac{13}{99} = \frac{211}{99}\)

Итак, \( 2,1(31) = \frac{211}{99}\).

Итак, вот итоговые ответы:

а) \( 0,(5) = \frac{5}{9} \)

б) \( -3,(27) = -\frac{36}{11} \)

в) \( 2,1(31) = \frac{211}{99} \)