Для решения задачи используем закон сохранения импульса.
Сначала найдем общий импульс, который был до деления ядра. Поскольку ядро покоится, его импульс равен нулю. После деления образуются три осколка с известными массами и скоростями.
Обозначим:
- Масса первого осколка ((m_1)) = (1.5m), скорость ((v_1)) = (2v)
- Масса второго осколка ((m_2)) = (m), скорость ((v_2)) = (4)
- Масса третьего осколка ((m_3)) = (5m), скорость ((v_3)
Так как (v_1) и (v_2) взаимно перпендикулярны, то их векторы скорости можно выразить в декартовой системе координат. Пусть (v_1) направлен по оси x, а (v_2) по оси y.
Таким образом, импульсы первых двух осколков будут:
Теперь найдем общий импульс первых двух осколков:
[
\vec{p}_{12} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2 = 3mv \hat{i} + 4m \hat{j}
]
Теперь по закону сохранения импульса, суммарный импульс всех осколков равен нулю:
[
\vec{p}_{12} + \vec{p}_3 = 0
]
Отсюда для импульса третьего осколка:
[
\vec{p}3 = -\vec{p}{12} = - (3mv \hat{i} + 4m \hat{j}) = - 3mv \hat{i} - 4m \hat{j}
]
Теперь найдем модуль импульса третьего осколка:
[
|\vec{p}_3| = \sqrt{(-3mv)^2 + (-4m)^2} = \sqrt{(9m^2v^2) + (16m^2)} = m\sqrt{9v^2 + 16}
]
Теперь найдем модуль скорости третьего осколка ((v_3)) с учетом его массы:
[
|\vec{p}_3| = m v_3 \quad \Rightarrow \quad v_3 = \frac{|\vec{p}_3|}{m} = \frac{m\sqrt{9v^2 + 16}}{m} = \sqrt{9v^2 + 16}
]
Теперь мы можем вычислить отношение модулей скоростей первого и третьего осколков:
[
\frac{v_1}{v_3} = \frac{2v}{\sqrt{9v^2 + 16}}
]
Окончательно, отношение модулей скоростей первого и третьего осколков равно:
[
\frac{v_1}{v_3} = \frac{2v}{\sqrt{9v^2 + 16}}
]
