Давайте рассмотрим ваши задачи одну за другой.
Снаряд реактивной установки «Град» попадает в круг радиуса 50 м. В этом круге находится мост размером 6 м на 20 м. Какова вероятность того, что снаряд попадет на мост?
Площадь круга можно рассчитать как:
[
S_{\text{круга}} = \pi r^2 = \pi (50)^2 = 2500\pi , \text{м}^2
]
Площадь моста:
[
S_{\text{моста}} = 6 \times 20 = 120 , \text{м}^2
]
Вероятность того, что снаряд попадет на мост, равна отношению площади моста к площади круга:
[
P = \frac{S_{\text{моста}}}{S_{\text{круга}}} = \frac{120}{2500\pi} \approx \frac{120}{7850} \approx 0.0153
]
Таким образом, вероятность составляет приблизительно 0.0153 или 1.53%.
На отрезок [2;6] числовой прямой наугад ставится точка. С какой вероятностью точка попадет в промежуток [3,5;4)?
Длина отрезка [2; 6] составляет 4 единицы. Длина промежутка [3.5; 4) равна:
[
4 - 3.5 = 0.5
]
Тогда вероятность попадания точки в этот промежуток:
[
P = \frac{0.5}{4} = 0.125
]
Вероятность составляет 0.125 или 12.5%.
После бури на участке между 40-м и 70-м километрами электролинии произошёл обрыв провода. Какова вероятность того, что он произошёл между 50-м и 55-м километрами линии?
Длина всего отрезка составляет:
[
70 - 40 = 30 , \text{км}
]
Длина отрезка между 50 и 55 км:
[
55 - 50 = 5 , \text{км}
]
Вероятность обрыва провода в этом интервале:
[
P = \frac{5}{30} = \frac{1}{6} \approx 0.1667
]
Вероятность составляет приблизительно 0.1667 или 16.67%.
На отрезке длиной десять сантиметров отмечена середина - точка М. Случайным образом внутри отрезка выделяется малый отрезок длиной один сантиметр. Какова вероятность того, что выделенный отрезок «накроет» точку М?
Если отрезок длиной 1 см будет «накрывать» точку М, то его начальная точка должна находиться в интервале [4, 9] см, чтобы 1 см охватывал 5 см (середину).
Длина подходящих отрезков:
[
9 - 4 = 5 , \text{см}
]
Общая длина отрезка составляет 10 см. Вероятность:
[
P = \frac{5}{10} = 0.5
]
Вероятность составляет 0.5 или 50%.
В круг радиуса 2 см вписан равнобедренный прямоугольный треугольник. В круг наудачу ставится точка. Найдите вероятность того, что она не попадёт в данный треугольник.
Площадь круга:
[
S_{\text{круга}} = \pi r^2 = \pi (2)^2 = 4\pi , \text{см}^2
]
Площадь равнобедренного треугольника, вписанного в круг, можно оценить по формуле:
[
S_{\text{треугольника}} = \frac{r^2 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{(2)^2 \cdot \sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \approx 3.464
]
Вероятность попадания в треугольник:
[
P = \frac{S_{\text{треугольника}}}{S_{\text{круга}}} = \frac{2\sqrt{3}}{4\pi} \approx \frac{3.464}{12.566} \approx 0.276
]
Следовательно, вероятность того, что точка не попадет в треугольник:
[
P_{\text{не попадет}} = 1 - P \approx 1 - 0.276 \approx 0.724
]
Вероятность составляет приблизительно 0.724 или 72.4%.
