Найдите вероятность того, что четверка выпадет ровно 3 раза, если игральную кость бросают 8 раз

Для решения задачи о вероятности выпадения четвёрки ровно 3 раза при 8 бросках игральной кости, можно использовать биномиальное распределение. Вероятность события "выпадение четвёрки" при одном броске кости равна 1/6, поскольку на шестигранной кости одна грань – это четвёрка. Вероятность того, что четвёрка не выпала, равна 5/6. Формула для биномиального распределения выглядит следующим образом: \[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \] где: - \( P(X = k) \) – вероятность того, что событие произойдёт \( k \) раз, - \( C(n, k) \) – биномиальный коэффициент, равный \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \), - \( n \) – общее количество испытаний (в нашем случае 8), - \( k \) – количество успешных исходов (в нашем случае 3), - \( p \) – вероятность успешного исхода (в нашем случае \( \frac{1}{6} \)). Давайте подставим значения в формулу: 1. Находим биномиальный коэффициент: \[ C(8, 3) = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56 \] 2. Подставляем в формулу: \[ P(X = 3) = C(8, 3) \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{8-3} \] \[ P(X = 3) = 56 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^5 \] 3. Рассчитываем: \[ P(X = 3) = 56 \cdot \frac{1}{216} \cdot \left(\frac{3125}{7776}\right) = 56 \cdot \frac{3125}{1667520} \] \[ = \frac{175000}{1667520} \approx 0.105 \] Таким образом, вероятность того, что четвёрка выпадет ровно 3 раза при 8 бросках игральной кости, составляет приблизительно 0.105 или 10.5%.