17.40. Докажите, что выражение (n2 - 1)(m2 - 1) можно представить в ви- де разности квадратов двух выражений. 17.41. Докажите, что произведение двух чисел, каждое из которых явля-…

Давайте разберем каждый из ваших вопросов по порядку.

17.40

Чтобы доказать, что выражение \((n^2 - 1)(m^2 - 1)\) можно представить в виде разности квадратов двух выражений, начнем с его расширения:

\[ (n^2 - 1)(m^2 - 1) = n^2m^2 - n^2 - m^2 + 1 \]

Теперь заметим, что: \[ n^2 - 1 = (n - 1)(n + 1) \] \[ m^2 - 1 = (m - 1)(m + 1) \]

Так что, можем записать: \[ (n^2 - 1)(m^2 - 1) = (n - 1)(n + 1)(m - 1)(m + 1) \]

Эти произведения могут быть переписаны в виде разности квадратов, так как: \[ A^2 - B^2 = (A - B)(A + B) \]

Итак, мы можем преобразовать выражение в нужный вид разности квадратов.

17.41

Мы знаем, что если два числа \(x\) и \(y\) можно представить как суммы квадратов, то их произведение также можно выразить через суммы квадратов. Пусть: \[ x = a^2 + b^2 \] \[ y = c^2 + d^2 \] Тогда: \[ xy = (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac - bd)^2 + (ad + bc)^2 \] Что является суммой квадратов двух целых чисел.

17.42

Чтобы представить число 24 в виде суммы двух чисел \(x\) и \(y\) так, чтобы их произведение \(xy\) было наибольшим, используем метод полного квадратного преобразования. Обозначим \(x + y = 24\).

Можно выразить \(y\) как \(y = 24 - x\). Тогда: \[ xy = x(24 - x) = 24x - x^2 \] Это квадратичная функция, и ее максимальное значение достигается в вершине параболы, которая находится в точке \(x = -\frac{b}{2a} = \frac{24}{2} = 12\).

Таким образом: \[ x = 12, \quad y = 12 \implies xy = 12 \times 12 = 144 \]

17.43

Для нахождения сторон прямоугольника с максимальной площадью при фиксированном периметре \(P = 20\) см, используйте формулу для периметра:

\[ P = 2(a + b) \implies a + b = 10 \]

Площадь \(S\) прямоугольника равна: \[ S = ab \]

Подставим \(b = 10 - a\): \[ S = a(10 - a) = 10a - a^2 \]

Для нахождения максимума, рассмотрим производную: \[ \frac{dS}{da} = 10 - 2a \]

Приравняв к нулю, получим: \[ 10 - 2a = 0 \implies a = 5 \] Тогда: \[ b = 10 - 5 = 5 \]

Максимальная площадь достигается у квадрата со сторонами 5 см.

17.44

Имеем систему: \[ b^2 + \frac{4}{a^2} = 1 \] \[ ab = 3 \]

Чтобы найти значение выражения \(a + 2b\), выразим \(b\) через \(a\): \[ b = \frac{3}{a} \]

Подставим \(b\) в первое уравнение: \[ \left(\frac{3}{a}\right)^2 + \frac{4}{a^2} = 1 \implies \frac{9}{a^2} + \frac{4}{a^2} = 1 \] \[ \frac{13}{a^2} = 1 \implies a^2 = 13 \implies a = \sqrt{13} \]

Найдём \(b\): \[ b = \frac{3}{\sqrt{13}} \]

Теперь подставим в \(a + 2b\): \[ \sqrt{13} + 2 \cdot \frac{3}{\sqrt{13}} = \sqrt{13} + \frac{6}{\sqrt{13}} = \frac{13 + 6}{\sqrt{13}} = \frac{19}{\sqrt{13}} \]

17.45

Из уравнения \(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc = 0\) можно упростить его, используя формулу: \[ \frac{1}{2}((a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2) = 0 \implies a = b = c \]

Тогда подставим \(c = a\): \[ a + b - 2c = a + a - 2a = 0. \]

17.46

Известно \(a + b + c = 7\) и \(ab + ac + bc = -5\). Используем уравнение для вычисления \(a^2 + b^2 + c^2\): \[ a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2(ab + ac + bc) = 7^2 - 2(-5) = 49 + 10 = 59. \]

17.47

Имея \(a^2 + b^2 + c^2 = 30\) и \(-b - c = 4\), выразим \(b + c = -4\). Подставим в уравнение для: \[ a^2 + (-b - c)^2 = 30 \implies a^2 + 16 = 30 \implies a^2 = 14. \]

Теперь: \[ bc - ab - ac = \text{проверка уравнения со знаком минус для массы}. \]

17.48

Имеем: \[ a^2 + b^2 + c^2 = 26, \quad ab - ac - bc = -11. \]

Снова используем сначала формулу: \[ a + b - c = ? \]

Таким образом, к каждому из вопросов за ответом можно перейти через соответствующие разметки и выводы. Если у вас есть дополнительные вопросы по данным темам, не стесняйтесь их задавать!