интеграл (6+5/x^2+13*√x)dx
Чтобы найти интеграл выражения \( \int (6 + \frac{5}{x^2} + 13\sqrt{x}) \, dx \), давайте разложим его на три отдельных интеграла:
- \( \int 6 \, dx \)
- \( \int \frac{5}{x^2} \, dx \)
- \( \int 13\sqrt{x} \, dx \)
Теперь решим каждый из этих интегралов по отдельности:
Первый интеграл: \[ \int 6 \, dx = 6x + C_1 \]
Второй интеграл: Заметим, что \( \frac{5}{x^2} \) можно переписать как \( 5x^{-2} \): \[ \int \frac{5}{x^2} \, dx = \int 5x^{-2} \, dx = 5 \cdot \left(-\frac{1}{x}\right) + C_2 = -\frac{5}{x} + C_2 \]
Третий интеграл: Это выражение \( 13\sqrt{x} \) можно представить как \( 13x^{1/2} \): \[ \int 13\sqrt{x} \, dx = \int 13x^{\frac{1}{2}} \, dx = 13 \cdot \left(\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}\right) + C_3 = \frac{26}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_3 \]
Теперь объединим все эти результаты:
\[ \int (6 + \frac{5}{x^2} + 13\sqrt{x}) \, dx = 6x - \frac{5}{x} + \frac{26}{3} x^{\frac{3}{2}} + C \]
где \( C = C_1 + C_2 + C_3 \) — произвольная константа интегрирования.
Таким образом, окончательный ответ выглядит так: \[ \int (6 + \frac{5}{x^2} + 13\sqrt{x}) \, dx = 6x - \frac{5}{x} + \frac{26}{3} x^{\frac{3}{2}} + C. \]
