Сколько существует различных восьмизначных чисел, сумма цифр каждого из которых равна 2?

Чтобы определить, сколько существует различных восьмизначных чисел, сумма цифр которых равна 2, начнем с того, что каждое восьмизначное число имеет форму \( a_1 a_2 a_3 a_4 a_5 a_6 a_7 a_8 \), где \( a_i \) — это цифры от 0 до 9. Обратите внимание, что первое число ( \( a_1 \) ) не может быть нулем; иначе это число будет семизначным. Наша задача — найти такие комбинации цифр, его сумма равна 2. Поскольку 8 разрядов могут принимать значения от 0 до 2 (так как их сумма должна быть 2), существует несколько случаев: 1. **2 в первых разрядах**: Например, если первая цифра \( a_1 = 2 \), а остальные 7 разрядов равны 0. В этом случае число будет \( 20000000 \). 2. **1 в одном из первых разрядов и 1 в одном из последующих**: Например, \( a_1 = 1, a_2 = 1 \), остальные равны 0. Так, например, получаем числа \( 11000000 \), \( 10100000 \), \( 10010000 \), и так далее. Количество способов выбрать позицию для двух единиц из 8: \(\binom{8}{2} = 28\). 3. **0 в первом разряде**: Это приводит к неправильным восьмизначным числам, так как первый разряд не может быть 0. Теперь, учитывая все вышеперечисленные случаи, имеем: - Варианты с двумя единицами, идущими в любом из последних 7 разрядов (так как первый разряд может быть только 2 или 1): выражаясь через комбинации, мы имеем 28 способов. - Для суммы 2 в виде 2,0,0,0,0,0,0,0 существуют 7 разрядов, поэтому мы имеем 1 способ. Следовательно, итоговое количество различных восьмизначных чисел, сумма цифр которых равна 2, составляет \( 28 + 1 = 29 \). Таким образом, ответ: **29**.