Давайте решим уравнение ( \frac{x + 4}{x} = \frac{2x + 10}{x - 4} ).
Сначала избавимся от дробей, перемножив обе стороны уравнения на ( x(x - 4) ) (при условии, что ( x \neq 0 ) и ( x \neq 4 )):
[
(x + 4)(x - 4) = (2x + 10)x
]
Теперь раскроем скобки:
[
x^2 - 16 = 2x^2 + 10x
]
Переместим все члены на одну сторону уравнения:
[
x^2 - 2x^2 - 10x - 16 = 0
]
Это упростится до:
[
-x^2 - 10x - 16 = 0
]
Умножим на -1, чтобы упростить уравнение:
[
x^2 + 10x + 16 = 0
]
Теперь можно использовать дискриминант для решения квадратного уравнения. Дискриминант ( D ) равен:
[
D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 100 - 64 = 36
]
Так как дискриминант положительный, у данного уравнения есть два различных корня. Находим корни по формуле:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1}
]
Вычисляем:
[
x_1 = \frac{-10 + 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2
]
[
x_2 = \frac{-10 - 6}{2} = \frac{-16}{2} = -8
]
Таким образом, решения уравнения:
[
x_1 = -2, \quad x_2 = -8
]
Итак, окончательные ответы: ( x = -2 ) и ( x = -8 ).
