Давайте найдём ( \cos x ), зная, что ( \sin x = -\frac{3}{5} ) и угол ( x ) находится в интервале ( \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right) ).
Сначала вспомним основное тригонометрическое тождество:
[
\sin^2 x + \cos^2 x = 1
]
Подставим значение ( \sin x ):
[
\left(-\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 x = 1
]
Это упрощается до:
[
\frac{9}{25} + \cos^2 x = 1
]
Теперь вычтем ( \frac{9}{25} ) из обеих сторон:
[
\cos^2 x = 1 - \frac{9}{25}
]
Преобразуем 1 в дробь с делителем 25 для удобства вычисления:
[
1 = \frac{25}{25}
]
Теперь вычтем:
[
\cos^2 x = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}
]
Теперь найдём ( \cos x ) путем извлечения квадратного корня:
[
\cos x = \pm \sqrt{\frac{16}{25}} = \pm \frac{4}{5}
]
Теперь определим, какой из корней нам нужен. Поскольку угол ( x ) находится в четвёртой четверти (от ( \frac{3\pi}{2} ) до ( 2\pi )), ( \cos x ) будет положительным, а ( \sin x ) отрицательным.
Таким образом, получаем:
[
\cos x = \frac{4}{5}
]
Ответ: ( \cos x = \frac{4}{5} ).
