Давайте разберем каждую часть задания по интегрированию.
1) Вычисление определенного интеграла точно по формуле Ньютона-Лейбница.
Для начала найдем первообразную функции (f(x) = 3x^2).
Первообразная функции (3x^2) равна:
[
F(x) = x^3 + C
]
Теперь вычислим определенный интеграл:
[
\int_2^6 3x^2 , dx = F(6) - F(2) = [6^3] - [2^3] = 216 - 8 = 208
]
2) Вычисление определенного интеграла приблизительно по формуле прямоугольников.
Используем метод прямоугольников с равными интервалами. Рассмотрим данный интервал ([2, 6]), длина которого равна (4). Мы выберем два прямоугольника (каждый промежуток по (2) единицы), чтобы упростить расчет.
Первый прямоугольник:
[
f(2) = 3(2^2) = 12
]
Второй прямоугольник:
[
f(4) = 3(4^2) = 48
]
Приближенное значение интеграла:
[
\approx (12 + 48) \cdot 2 = 120
]
3) Вычисление определенного интеграла приблизительно по формуле трапеций.
Используем ту же ширину интервалов. Формула трапеций:
[
\int_a^b f(x) , dx \approx \frac{(b-a)}{2} \cdot (f(a) + f(b))
]
В нашем случае:
[
\int_2^6 f(x) , dx \approx \frac{4}{2} \cdot (f(2) + f(6))
]
Вычислим:
[
f(6) = 3(6^2) = 108
]
Теперь подставим:
[
\approx 2 \cdot (12 + 108) = 2 \cdot 120 = 240
]
4) Вычисление определенного интеграла приблизительно по формуле парабол (Симпсона).
Формула Симпсона применима, если мы делим отрезок на чётное количество подотрезков. Возьмем (n = 4) (интервал по (1)). Вычислим значения функции в точках:
- (x_0 = 2), (f(2) = 12)
- (x_1 = 3), (f(3) = 27)
- (x_2 = 4), (f(4) = 48)
- (x_3 = 5), (f(5) = 75)
- (x_4 = 6), (f(6) = 108)
Формула Симпсона:
[
\int_a^b f(x) , dx \approx \frac{(b-a)}{6} \cdot (f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + f(x_4))
]
Теперь подставим значения:
[
\approx \frac{4}{6} \cdot (12 + 4 \cdot 27 + 2 \cdot 48 + 4 \cdot 75 + 108)
]
[
= \frac{4}{6} \cdot (12 + 108 + 96 + 300 + 108) = \frac{4}{6} \cdot 624 = \frac{2496}{6} = 416
]
5) Выполнение оценки погрешности по каждой формуле.
- Прямоугольники (прейскурант): ( | 208 - 120 | = 88)
- Трапеций (прейскурант): ( | 208 - 240 | = 32)
- Симпсона (прейскурант): ( | 208 - 416 | = 208)
Теперь у нас есть точное значение интеграла (208), а также приблизительные значения и оценки погрешностей по всем методам. Если у вас есть вопросы по какому-либо из методов, пожалуйста, дайте знать!
