Задание: 1. Исходные данные: \(\int_2^6 3x^2 \, dx\) 1) Вычислить определенный интеграл точно по формуле Ньютона-Лейбница. 2) Вычислить определенный интеграл приблизительно по…
Задание: 1. Исходные данные: \(\int_2^6 3x^2 \, dx\) 1) Вычислить определенный интеграл точно по формуле Ньютона-Лейбница. 2) Вычислить определенный интеграл приблизительно по формуле прямоугольников. 3) Вычислить определенный интеграл приблизительно по формуле трапеций. 4) Вычислить определенный интеграл приблизительно по формуле парабол (Симпсона). 5) Выполнить оценку погрешности по каждой формуле.
Давайте разберем каждую часть задания по интегрированию.
1) Вычисление определенного интеграла точно по формуле Ньютона-Лейбница.
Для начала найдем первообразную функции \(f(x) = 3x^2\).
Первообразная функции \(3x^2\) равна: \[ F(x) = x^3 + C \]
Теперь вычислим определенный интеграл: \[ \int_2^6 3x^2 \, dx = F(6) - F(2) = [6^3] - [2^3] = 216 - 8 = 208 \]
2) Вычисление определенного интеграла приблизительно по формуле прямоугольников.
Используем метод прямоугольников с равными интервалами. Рассмотрим данный интервал \([2, 6]\), длина которого равна \(4\). Мы выберем два прямоугольника (каждый промежуток по \(2\) единицы), чтобы упростить расчет.
Первый прямоугольник: \[ f(2) = 3(2^2) = 12 \]
Второй прямоугольник: \[ f(4) = 3(4^2) = 48 \]
Приближенное значение интеграла: \[ \approx (12 + 48) \cdot 2 = 120 \]
3) Вычисление определенного интеграла приблизительно по формуле трапеций.
Используем ту же ширину интервалов. Формула трапеций: \[ \int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{(b-a)}{2} \cdot (f(a) + f(b)) \]
В нашем случае: \[ \int_2^6 f(x) \, dx \approx \frac{4}{2} \cdot (f(2) + f(6)) \]
Вычислим: \[ f(6) = 3(6^2) = 108 \] Теперь подставим: \[ \approx 2 \cdot (12 + 108) = 2 \cdot 120 = 240 \]
4) Вычисление определенного интеграла приблизительно по формуле парабол (Симпсона).
Формула Симпсона применима, если мы делим отрезок на чётное количество подотрезков. Возьмем \(n = 4\) (интервал по \(1\)). Вычислим значения функции в точках:
- \(x_0 = 2\), \(f(2) = 12\)
- \(x_1 = 3\), \(f(3) = 27\)
- \(x_2 = 4\), \(f(4) = 48\)
- \(x_3 = 5\), \(f(5) = 75\)
- \(x_4 = 6\), \(f(6) = 108\)
Формула Симпсона: \[ \int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{(b-a)}{6} \cdot (f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + f(x_4)) \] Теперь подставим значения: \[ \approx \frac{4}{6} \cdot (12 + 4 \cdot 27 + 2 \cdot 48 + 4 \cdot 75 + 108) \] \[ = \frac{4}{6} \cdot (12 + 108 + 96 + 300 + 108) = \frac{4}{6} \cdot 624 = \frac{2496}{6} = 416 \]
5) Выполнение оценки погрешности по каждой формуле.
- Прямоугольники (прейскурант): \( | 208 - 120 | = 88\)
- Трапеций (прейскурант): \( | 208 - 240 | = 32\)
- Симпсона (прейскурант): \( | 208 - 416 | = 208\)
Теперь у нас есть точное значение интеграла \(208\), а также приблизительные значения и оценки погрешностей по всем методам. Если у вас есть вопросы по какому-либо из методов, пожалуйста, дайте знать!
