Реши

Давай разберём задачу №1000, которая отмечена на картинке.

Тебе нужно найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции, осями координат и прямой \( x = 4 \).

Функция задана как \( y = 2 \sqrt{x} \).

Шаги решения:

1. Определим границы интегрирования. Мы находим площадь под графиком от \( x = 0 \) до \( x = 4 \).

2. Запишем формулу для нахождения площади. Площадь \( S \) под графиком функции \( y = 2 \sqrt{x} \) в интервале от \( x = a \) до \( x = b \) определяется интегралом:

   \[ S = \int_{0}^{4} 2 \sqrt{x} \, dx \]

3. Решим интеграл. Найдём неопределённый интеграл:

   \[ \int 2 \sqrt{x} \, dx = \int 2 x^{1/2} \, dx \]

   Это аналогично нахождению:

   \[ \frac{4}{3} x^{3/2} + C \]

   Где \( C \) — постоянная интегрирования (которая не нужна для определённого интеграла).

4. Подставим пределы интегрирования:

   \[ S = \left[ \frac{4}{3} x^{3/2} \right]_{0}^{4} = \frac{4}{3} (4^{3/2}) - \frac{4}{3} (0^{3/2}) \]

5. Посчитаем значение. \[ 4^{3/2} = (2^2)^{3/2} = 2^3 = 8 \]

   Поэтому:

   \[ S = \frac{4}{3} \cdot 8 = \frac{32}{3} \]

Итак, площадь криволинейной трапеции равна \( \frac{32}{3} \).

Если у тебя есть ещё вопросы, дай знать!