В одной системе координат постройте графики функций y= -1/x, y=корень x и y=x-2. По графикам определи координаты точки пересечения

Чтобы построить графики функций \( y = -\frac{1}{x} \), \( y = \sqrt{x} \) и \( y = x - 2 \) в одной системе координат, давайте сначала по отдельности рассмотрим каждую функцию.

1. График функции \( y = -\frac{1}{x} \):

   • Эта функция имеет асимптоты: вертикальная при \( x = 0 \) и горизонтальная при \( y = 0 \).
   • График будет располагаться в двух квадрантах: I (где \( x > 0 \), \( y < 0 \)) и III (где \( x < 0 \), \( y > 0 \)).
   • Например, для \( x = 1 \), \( y = -1 \); для \( x = -1 \), \( y = 1 \).

2. График функции \( y = \sqrt{x} \):

   • Эта функция определена только для \( x \geq 0 \).
   • Она начинается в точке \( (0, 0) \) и растёт, например, для \( x = 1 \), \( y = 1 \); для \( x = 4 \), \( y = 2 \).

3. График функции \( y = x - 2 \):

   • Это линейная функция с наклоном 1 и пересечением с осью \( y \) в точке \( (0, -2) \).
   • Например, для \( x = 0 \), \( y = -2 \); для \( x = 2 \), \( y = 0 \).

Теперь построим все три графика в одной системе координат.

Определение точек пересечения:

1. Пересечение функций \( y = \sqrt{x} \) и \( y = x - 2 \):

   • Установим их равными: \( \sqrt{x} = x - 2 \).
   • Квадрат обеих сторон: \( x = (x - 2)^2 \).
   • Раскроем скобки: \( x = x^2 - 4x + 4 \).
   • Переносим всё в одну сторону: \( 0 = x^2 - 5x + 4 \).
   • Разложим на множители: \( 0 = (x - 1)(x - 4) \).
   • Находим корни: \( x = 1 \) и \( x = 4 \).
   • Проверяем \( y \) для этих значений: для \( x = 1 \), \( y = -1 \), и для \( x = 4 \), \( y = 2 \).

2. Пересечение функций \( y = -\frac{1}{x} \) и \( y = x - 2 \):

   • Установим их равными: \( -\frac{1}{x} = x - 2 \).
   • Умножим обе стороны на \( x \) (при \( x \neq 0 \)): \( -1 = x^2 - 2x \).
   • Переносим всё на одну сторону: \( x^2 - 2x + 1 = 0 \), что даёт \( (x - 1)^2 = 0 \).
   • Таким образом, \( x = 1 \) и подставляем в любую функцию: \( y = -1 \).

Итак, мы нашли две точки пересечения:

• Первая точка на графиках \( y = \sqrt{x} \) и \( y = x - 2 \): \( (4, 2) \)
• Вторая точка между \( y = -\frac{1}{x} \) и \( y = x - 2 \): \( (1, -1) \)

В итоге, координаты точек пересечения: \( (1, -1) \) и \( (4, 2) \).