Найдите уравнение касательной к окружности х? + (у - 2)? = 25, если эта касательная проходит через точку М (3; -2).

Для нахождения уравнения касательной к окружности \( x^2 + (y - 2)^2 = 25 \), сначала найдем центр и радиус окружности. Центр окружности \( C(0, 2) \), радиус \( r = 5 \) (поскольку \( r^2 = 25 \)). Касательная к окружности из точки \( M(3, -2) \) может быть найдена с помощью следующих шагов: 1. **Найдем радиус, соединяющий центр окружности и точку М:** \[ CM = \sqrt{(3 - 0)^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5. \] Так как расстояние от \( M \) до центра \( C \) равно 5, оно равно радиусу окружности. Это означает, что точка \( M \) лежит на окружности. 2. **Определим уравнение касательной:** Касательная к окружности из точки, лежащей на окружности, может быть найдена, используя производную. Мы знаем, что касательная в точке \( M(3, -2) \) будет перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку. 3. **Найдём уравнение касательной:** Сначала найдем производную для уравнения окружности. Перепишем окружность в явном виде: \[ (y - 2)^2 = 25 - x^2. \] Теперь найдем производную \( y \): \[ 2(y - 2)\frac{dy}{dx} = -2x \implies \frac{dy}{dx} = \frac{-x}{y - 2}. \] В точке \( M(3, -2) \) нужно подставить \( x = 3 \) и \( y = -2 \): \[ \frac{dy}{dx}\bigg|_{(3, -2)} = \frac{-3}{-2 - 2} = \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4}. \] Это значит, что наклон касательной равен \( \frac{3}{4} \). Наклон перпендикулярной прямой составляет \( -\frac{4}{3} \). 4. **Уравнение касательной в точке \( M(3, -2) \):** Используем уравнение прямой: \[ y - y_0 = k(x - x_0), \] где \( (x_0, y_0) = (3, -2) \) и \( k = -\frac{4}{3} \): \[ y + 2 = -\frac{4}{3}(x - 3). \] Упростим уравнение: \[ y + 2 = -\frac{4}{3}x + 4 \implies y = -\frac{4}{3}x + 2. \] Итак, уравнение касательной к окружности \( x^2 + (y - 2)^2 = 25 \) в точке \( M(3, -2) \) равно: \[ y = -\frac{4}{3}x + 2. \]