Найдите уравнение касательной к окружности х? + (у - 2)? = 25, если эта касательная проходит через точку М (3; -2).
Для нахождения уравнения касательной к окружности \( x^2 + (y - 2)^2 = 25 \), сначала найдем центр и радиус окружности.
Центр окружности \( C(0, 2) \), радиус \( r = 5 \) (поскольку \( r^2 = 25 \)).
Касательная к окружности из точки \( M(3, -2) \) может быть найдена с помощью следующих шагов:
Найдем радиус, соединяющий центр окружности и точку М: \[ CM = \sqrt{(3 - 0)^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5. \] Так как расстояние от \( M \) до центра \( C \) равно 5, оно равно радиусу окружности. Это означает, что точка \( M \) лежит на окружности.
Определим уравнение касательной: Касательная к окружности из точки, лежащей на окружности, может быть найдена, используя производную. Мы знаем, что касательная в точке \( M(3, -2) \) будет перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку.
Найдём уравнение касательной: Сначала найдем производную для уравнения окружности.
Перепишем окружность в явном виде: \[ (y - 2)^2 = 25 - x^2. \] Теперь найдем производную \( y \): \[ 2(y - 2)\frac{dy}{dx} = -2x \implies \frac{dy}{dx} = \frac{-x}{y - 2}. \]
В точке \( M(3, -2) \) нужно подставить \( x = 3 \) и \( y = -2 \): \[ \frac{dy}{dx}\bigg|_{(3, -2)} = \frac{-3}{-2 - 2} = \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4}. \]
Это значит, что наклон касательной равен \( \frac{3}{4} \). Наклон перпендикулярной прямой составляет \( -\frac{4}{3} \).
Уравнение касательной в точке \( M(3, -2) \): Используем уравнение прямой: \[ y - y_0 = k(x - x_0), \] где \( (x_0, y_0) = (3, -2) \) и \( k = -\frac{4}{3} \): \[ y + 2 = -\frac{4}{3}(x - 3). \] Упростим уравнение: \[ y + 2 = -\frac{4}{3}x + 4 \implies y = -\frac{4}{3}x + 2. \]
Итак, уравнение касательной к окружности \( x^2 + (y - 2)^2 = 25 \) в точке \( M(3, -2) \) равно: \[ y = -\frac{4}{3}x + 2. \]
