Для выполнения этих заданий удобно использовать свойства геометрического распределения, так как описанные в заданиях события могут быть проанализированы с точки зрения независимых испытаний.
Задание 1
Пусть ( p ) - вероятность попадания, тогда ( p = 1 - 0,08 = 0,92 ).
а) Вероятность того, что цель будет поражена со второго выстрела:
[ P(2) = (1 - p)p = (0,08)(0,92) = 0,0736. ]
б) Вероятность того, что цель будет поражена с третьего выстрела:
[ P(3) = (1 - p)(1 - p)p = (0,08)(0,08)(0,92) = 0,0058432. ]
в) Вероятность того, что цель будет поражена со второго или третьего выстрела:
[ P(2 \text{ или } 3) = P(2) + P(3) = 0,0736 + 0,0058432 = 0,0794432. ]
г) Вероятность того, что цель будет поражена менее чем с пятого выстрела:
[ P(<5) = P(1) + P(2) + P(3) + P(4) ]
[ P(1) = p = 0,92 ]
[ P(4) = (1 - p)(1 - p)(1 - p)p = (0,08)(0,08)(0,08)(0,92) = 0,00073728 ]
[ P(<5) = 0,92 + 0,0736 + 0,0058432 + 0,00073728 \approx 0,99958048. ]
Задание 2
Пусть ( p = 0,4 ) - вероятность выигрыша, а ( q = 0,6 ) - вероятность проигрыша.
а) Вероятность того, что шахматист выиграет с третьей попытки:
[ P(3) = q^2 p = (0,6)^2(0,4) = 0,36 \cdot 0,4 = 0,144. ]
б) Вероятность того, что шахматист выиграет с третьей или четвертой попытки:
[ P(3 \text{ или } 4) = P(3) + P(4) ]
[ P(4) = q^3 p = (0,6)^3(0,4) = 0,216 \cdot 0,4 = 0,0864 ]
[ P(3 \text{ или } 4) = 0,144 + 0,0864 = 0,2304. ]
в) Вероятность того, что шахматист выиграет не ранее, чем с третьей попытки:
[ P(\text{не ранее 3}) = P(3) + P(4) + P(5) + \ldots = P(3) + P(4) + \sum_{k=5}^{\infty} q^{k-1}p = 0,144 + 0,0864 + \sum_{k=5}^{\infty} (0,6)^{k-1}(0,4) ]
Суммируя бесконечный ряд:
[ \sum_{n=0}^{\infty} q^n = \frac{1}{1-q} = \frac{1}{0,4} = 2.5 ]
Итак,
[ P(\text{не ранее 3}) = 0,144 + 0,0864 + 0,4 \cdot 2.5 = 0,144 + 0,0864 + 1 = 1,2304. ]
г) Вероятность того, что шахматист выиграет раньше, чем с четвертой попытки:
[ P(<4) = P(1) + P(2) + P(3) ]
- ( P(1) = p = 0,4 )
- ( P(2) = qp = (0,6)(0,4) = 0,24 )
Таким образом:
[ P(<4) = 0,4 + 0,24 + 0,144 = 0,784. ]
Задание 3
Вероятность успеха (выпадение очков кратных 3 на игральном кубике) равна ( p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} ), а вероятность неудачи равна ( q = 1 - p = \frac{2}{3} ).
а) Вероятность того, что успех наступит со второго броска:
[ P(2) = q p = \left(\frac{2}{3}\right)\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{9}. ]
б) Вероятность того, что успех наступит со второго или четвертого броска:
[ P(2 \text{ или } 4) = P(2) + P(4) ]
[ P(4) = q^3 p = \left(\frac{2}{3}\right)^3\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{8}{27} \cdot \frac{1}{3} = \frac{8}{81} ]
[ P(2 \text{ или } 4) = \frac{2}{9} + \frac{8}{81} ]
[ = \frac{18}{81} + \frac{8}{81} = \frac{26}{81}. ]
в) Вероятность того, что успех не наступит до третьего броска:
[ P(\text{не до } 3) = q^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}. ]
г) Вероятность того, что успех наступит не раньше 3-го броска, но не позже 5-го броска:
[ P(3 \text{ или } 4 \text{ или } 5) = P(3) + P(4) + P(5) ]
[ P(3) = q^2 p = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \left(\frac{1}{3}\right) = \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{27} ]
[ P(5) = q^4 p = \left(\frac{2}{3}\right)^4 \left(\frac{1}{3}\right) = \frac{16}{81} \cdot \frac{1}{3} = \frac{16}{243} ]
Теперь суммируем:
[ P(3 \text{ или } 4 \text{ или } 5) = \frac{4}{27} + \frac{8}{81} + \frac{16}{243} ]
Приведем к общему знаменателю (243):
[ \frac{4}{27} = \frac{36}{243}, ]
[ \frac{8}{81} = \frac{24}{243}, ]
[ P(3 \text{ или } 4 \text{ или } 5) = \frac{36 + 24 + 16}{243} = \frac{76}{243}. ]
Таким образом, мы нашли вероятности для всех заданий.
