Найдите дисперсию числового набора Х = { 3 ; 8 ; 10 ; 11 } .
Для нахождения дисперсии числового набора \( X = \{ 3, 8, 10, 11 \} \) необходимо выполнить несколько шагов.
Находим среднее арифметическое (математическое ожидание) числового набора. Среднее арифметическое вычисляется по формуле: \[ \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i \] где \( n \) — количество элементов в наборе, а \( X_i \) — элементы набора.
В нашем случае: \[ \bar{X} = \frac{3 + 8 + 10 + 11}{4} = \frac{32}{4} = 8 \]
Находим отклонения от среднего. Нам нужны квадратные отклонения:
- \( (3 - 8)^2 = (-5)^2 = 25 \)
- \( (8 - 8)^2 = 0^2 = 0 \)
- \( (10 - 8)^2 = 2^2 = 4 \)
- \( (11 - 8)^2 = 3^2 = 9 \)
Суммируем квадратные отклонения: \[ \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2 = 25 + 0 + 4 + 9 = 38 \]
Находим дисперсию. Дисперсия вычисляется как среднее значение квадратных отклонений. Для выборки с конечным числом элементов она рассчитывается по формуле: \[ D = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2 \] или для генеральной совокупности, которая используется в случае, если мы рассматриваем все элементы, как: \[ D = \frac{1}{n - 1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2 \]
В данном случае, если мы считаем, что это выборка, то у нас \( n = 4 \): \[ D = \frac{38}{4 - 1} = \frac{38}{3} \approx 12.67 \]
Таким образом, дисперсия числового набора \( X = \{ 3, 8, 10, 11 \} \ составляет примерно \( 12.67 \).
