Найдите дисперсию числового набора Х = { 3 ; 8 ; 10 ; 11 } .

Для нахождения дисперсии числового набора \( X = \{ 3, 8, 10, 11 \} \) необходимо выполнить несколько шагов. 1. **Находим среднее арифметическое (математическое ожидание) числового набора**. Среднее арифметическое вычисляется по формуле: \[ \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i \] где \( n \) — количество элементов в наборе, а \( X_i \) — элементы набора. В нашем случае: \[ \bar{X} = \frac{3 + 8 + 10 + 11}{4} = \frac{32}{4} = 8 \] 2. **Находим отклонения от среднего**. Нам нужны квадратные отклонения: - \( (3 - 8)^2 = (-5)^2 = 25 \) - \( (8 - 8)^2 = 0^2 = 0 \) - \( (10 - 8)^2 = 2^2 = 4 \) - \( (11 - 8)^2 = 3^2 = 9 \) 3. **Суммируем квадратные отклонения**: \[ \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2 = 25 + 0 + 4 + 9 = 38 \] 4. **Находим дисперсию**. Дисперсия вычисляется как среднее значение квадратных отклонений. Для выборки с конечным числом элементов она рассчитывается по формуле: \[ D = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2 \] или для генеральной совокупности, которая используется в случае, если мы рассматриваем все элементы, как: \[ D = \frac{1}{n - 1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2 \] В данном случае, если мы считаем, что это выборка, то у нас \( n = 4 \): \[ D = \frac{38}{4 - 1} = \frac{38}{3} \approx 12.67 \] Таким образом, дисперсия числового набора \( X = \{ 3, 8, 10, 11 \} \ составляет примерно \( 12.67 \).