одна сторона прямоугольника на 1 см короче диагонали и на 7 см длиннее смежной с ней стороны .найдите площадь прямоугольника
Давайте решим задачу шаг за шагом.
Обозначим одну сторону прямоугольника как \( x \), а другую сторону как \( y \). Из условия задачи мы знаем две вещи:
Одна сторона на 1 см короче диагонали: \[ x = d - 1, \] где \( d \) — диагональ прямоугольника. По формуле Пифагора, диагональ прямоугольника можно выразить как: \[ d = \sqrt{x^2 + y^2}. \]
Другая сторона (смежная к первой) на 7 см короче первой: \[ y = x - 7. \]
Теперь подставим \( y \) во второе уравнение: \[ x = \sqrt{x^2 + (x - 7)^2} - 1. \]
Теперь упростим это уравнение:
Разложим квадрат: \[ (x - 7)^2 = x^2 - 14x + 49. \] Тогда у нас будет: \[ x = \sqrt{x^2 + x^2 - 14x + 49} - 1. \] Или: \[ x = \sqrt{2x^2 - 14x + 49} - 1. \]
Переносим 1 на левую сторону: \[ x + 1 = \sqrt{2x^2 - 14x + 49}. \]
Теперь возведем обе стороны в квадрат: \[ (x + 1)^2 = 2x^2 - 14x + 49. \] Это дает нам: \[ x^2 + 2x + 1 = 2x^2 - 14x + 49. \]
Переносим все на одну сторону: \[ 0 = 2x^2 - 14x + 49 - x^2 - 2x - 1. \] Упрощаем: \[ 0 = x^2 - 16x + 48. \]
Решим полученное квадратное уравнение. Оно имеет вид: \[ x^2 - 16x + 48 = 0. \] Найдем дискриминант: \[ D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48 = 256 - 192 = 64. \] Теперь найдем корни: \[ x = \frac{16 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{16 \pm 8}{2}. \] Это дает два решения: \[ x_1 = \frac{24}{2} = 12, \quad x_2 = \frac{8}{2} = 4. \]
Теперь подставим корни обратно, чтобы найти \( y \):
Если \( x = 12 \): \[ y = 12 - 7 = 5. \]
Если \( x = 4 \): \[ y = 4 - 7 \text{ (что не имеет смысла, так как длина не может быть отрицательной)}. \]
Таким образом, мы имеем размеры прямоугольника: \( x = 12 \) см и \( y = 5 \) см.
Теперь найдем площадь прямоугольника: \[ S = x \cdot y = 12 \cdot 5 = 60 \text{ см}^2. \]
Итак, площадь прямоугольника равна \( 60 \) см².
