Для решения задачи воспользуемся принципом соотношения площадей треугольников.
Так как прямая MN параллельна стороне AC, треугольники MBN и ABC подобны. Соотношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения соответствующих линейных размеров (например, высот или оснований).
Обозначим высоту треугольника ABC от вершины B до основания AC как h, а высоту треугольника MBN от вершины B до основания MN как h₁. Поскольку треугольники подобны, имеем:
[
\frac{MN}{AC} = \frac{h_1}{h}
]
Подставим известные значения:
[
\frac{8}{18} = \frac{h_1}{h}
]
Упростим пропорцию:
[
\frac{4}{9} = \frac{h_1}{h}
]
Теперь найдем отношение площадей:
Площадь треугольника MBN (S₁) и площадь треугольника ABC (S) связаны следующим образом:
[
\frac{S_1}{S} = \left(\frac{h_1}{h}\right)^2 = \left(\frac{4}{9}\right)^2 = \frac{16}{81}
]
Известно, что площадь треугольника ABC равна 81:
[
S = 81
]
Теперь можем найти площадь треугольника MBN:
[
S_1 = S \cdot \frac{16}{81} = 81 \cdot \frac{16}{81} = 16
]
Таким образом, площадь треугольника MBN равна 16.
