1. В треугольнике АВС точка К лежит на стороне АС. Площади треугольников АВК и КВС относятся как 1:3, BC = 10 см. Найдите АС, если (BC)/(AC) = (AK)/(KC)

Давайте рассмотрим вашу задачу шаг за шагом. Итак, у нас есть треугольник \( ABC \), где точка \( K \) лежит на стороне \( AC \). Площади треугольников \( ABK \) и \( KBC \) относятся как \( 1:3 \), а длина стороны \( BC \) равна \( 10 \) см. Нам нужно найти длину стороны \( AC \), зная, что \(\frac{BC}{AC} = \frac{AK}{KC}\).

1. Под обозначим площадь треугольника \( ABK \) как \( S \), тогда площадь треугольника \( KBC \) будет \( 3S \). Таким образом, площадь всего треугольника \( ABC \) равна \( S + 3S = 4S \).

2. Мы знаем, что площади треугольников можно выразить через их основания и высоты. Высота треугольника \( ABC \), проведенная из вершины \( A \) к основанию \( BC \), будет одинаковой для обоих треугольников \( ABK \) и \( KBC \). Обозначим основания:

   • \( AK = x \)
   • \( KC = y \)

   Соответственно, по отношению площадей и исходя из высоты \( h \), можно записать: \[ S_{ABK} = \frac{1}{2} \cdot x \cdot h \] \[ S_{KBC} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot h \]

3. Так как площади этих треугольников относятся как \( 1:3 \), можно записать: \[ \frac{\frac{1}{2} \cdot x \cdot h}{\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot h} = \frac{1}{3} \] Упрощая, получаем: \[ \frac{x}{10} = \frac{1}{3} \implies x = \frac{10}{3} \text{ см} \]

4. Поскольку \( AC = AK + KC = x + y \), и мы знаем, что \(\frac{BC}{AC} = \frac{AK}{KC}\), то подставим известные значения: \[ \frac{10}{AC} = \frac{\frac{10}{3}}{y} \]

5. Из этого равенства можем выразить \( AC \): \[ 10y = AC \cdot \frac{10}{3} \implies 3y = AC \]

6. Теперь выражение для \( AC \) становится: \[ AC = x + y = \frac{10}{3} + y \]

7. Подставив \( y = \frac{AC}{3} \) в уравнение выше: \[ AC = \frac{10}{3} + \frac{AC}{3} \]

8. Умножим все на 3 для удобства: \[ 3AC = 10 + AC \implies 2AC = 10 \implies AC = 5 \text{ см} \]

Таким образом, длина стороны \( AC \) равна \( 5 \) см.