Теплоход,собственная скорость которого 18 км прошёл 50 км по течению реки и 8 км против течения на весь путь 3 часа
Для решения задачи давайте обозначим различные параметры:
- Собственная скорость теплохода (Vt) — 18 км/ч.
- Расстояние по течению — 50 км.
- Расстояние против течения — 8 км.
- Общее время в пути — 3 часа.
Сначала определим скорость течения реки (Vр). Когда теплоход движется по течению, его скорость увеличивается на скорость реки, а когда движется против течения, скорость уменьшается.
- Скорость по течению: Vt + Vр
- Скорость против течения: Vt - Vр
Теперь запишем уравнение для времени в пути по каждому из участков:
- Время в пути по течению: \[ t_1 = \frac{50}{Vt + Vp} \]
- Время в пути против течения: \[ t_2 = \frac{8}{Vt - Vp} \]
Суммируем времена и приравниваем к общему времени: \[ t_1 + t_2 = 3 \]
Подставим выражения для \(t_1\) и \(t_2\): \[ \frac{50}{18 + Vp} + \frac{8}{18 - Vp} = 3 \]
Теперь решим это уравнение.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель \((18 + Vp)(18 - Vp)\): \[ 50(18 - Vp) + 8(18 + Vp) = 3(18 + Vp)(18 - Vp) \]
Раскроем скобки: \[ 900 - 50Vp + 144 + 8Vp = 3(324 - Vp^2) \]
Упрощаем: \[ 1044 - 42Vp = 972 - 3Vp^2 \]
Перепишем уравнение: \[ 3Vp^2 - 42Vp + 72 = 0 \]
Упростим, разделив на 3: \[ Vp^2 - 14Vp + 24 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 196 - 96 = 100 \]
Найдем корни уравнения: \[ Vp = \frac{14 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{14 \pm 10}{2} \]
Это дает два возможных решения:
- \(Vp = \frac{24}{2} = 12\) км/ч
- \(Vp = \frac{4}{2} = 2\) км/ч
Теперь подставим значение скорости течения обратно, чтобы подтвердить, что общее время действительно составляет 3 часа. Если \(Vp = 12\) км/ч:
- Скорость по течению: \(18 + 12 = 30\) км/ч
- Время: \(\frac{50}{30} = \frac{5}{3}\) часа
- Скорость против течения: \(18 - 12 = 6\) км/ч
- Время: \(\frac{8}{6} = \frac{4}{3}\) часа
Суммировав время: \[ \frac{5}{3} + \frac{4}{3} = 3 \text{ часа} \]
Таким образом, скорость течения реки составляет 12 км/ч.
