Обозначим стороны параллелограмма как ( a ) и ( b ), а углы как ( \alpha ) и ( \beta ). Из условия задачи у нас есть следующие уравнения:
Периметр параллелограмма:
[
2(a + b) = 40 \implies a + b = 20
]
Разность углов:
[
|\alpha - \beta| = 120^\circ
]
Разность сторон:
[
|a - b| = 2
]
Решим систему уравнений.
Из первого уравнения можем выразить ( b ):
[
b = 20 - a
]
Подставим это значение во втором уравнении:
[
|a - (20 - a)| = 2
]
Это даёт нам два случая:
Случай 1:
[
a - (20 - a) = 2 \implies 2a - 20 = 2 \implies 2a = 22 \implies a = 11
]
Подставляем ( a ) в уравнение для ( b ):
[
b = 20 - 11 = 9
]
Случай 2:
[
-(a - (20 - a)) = 2 \implies -(2a - 20) = 2 \implies -2a + 20 = 2 \implies -2a = -18 \implies a = 9
]
Подставляем ( a ) в уравнение для ( b ):
[
b = 20 - 9 = 11
]
В обоих случаях мы получаем ( a = 11 ) см и ( b = 9 ) см, или наоборот.
Теперь найдем углы. Из условия известно, что разность углов ( |\alpha - \beta| = 120^\circ ). Параллелограммы имеют противоположные углы равными, поэтому, если обозначим (\alpha = x) и (\beta = x - 120^\circ) (или (\beta = x + 120^\circ)), можем записать:
[
x + (x - 120^\circ) = 180^\circ \implies 2x - 120^\circ = 180^\circ \implies 2x = 300^\circ \implies x = 150^\circ
]
Тогда (\alpha = 150^\circ) и (\beta = 30^\circ).
Площадь параллелограмма можно найти по формуле:
[
S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)
]
Так как угол ( \alpha = 150^\circ ), то ( \sin(150^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} ).
Теперь подставим значения в формулу:
[
S = 11 \cdot 9 \cdot \sin(150^\circ) = 11 \cdot 9 \cdot \frac{1}{2} = 49.5 , \text{см}^2
]
Таким образом, площадь параллелограмма равна ( 49.5 , \text{см}^2).
