Периметр параллелограмма равен 40 см. Разность двух его углов равна 120°, а разность двух его сторон - 2 см. Найдите площадь па-раллелограмма.
Обозначим стороны параллелограмма как \( a \) и \( b \), а углы как \( \alpha \) и \( \beta \). Из условия задачи у нас есть следующие уравнения:
Периметр параллелограмма: \[ 2(a + b) = 40 \implies a + b = 20 \]
Разность углов: \[ |\alpha - \beta| = 120^\circ \]
Разность сторон: \[ |a - b| = 2 \]
Решим систему уравнений.
Из первого уравнения можем выразить \( b \): \[ b = 20 - a \]
Подставим это значение во втором уравнении: \[ |a - (20 - a)| = 2 \] Это даёт нам два случая:
Случай 1: \[ a - (20 - a) = 2 \implies 2a - 20 = 2 \implies 2a = 22 \implies a = 11 \] Подставляем \( a \) в уравнение для \( b \): \[ b = 20 - 11 = 9 \]
Случай 2: \[ -(a - (20 - a)) = 2 \implies -(2a - 20) = 2 \implies -2a + 20 = 2 \implies -2a = -18 \implies a = 9 \] Подставляем \( a \) в уравнение для \( b \): \[ b = 20 - 9 = 11 \]
В обоих случаях мы получаем \( a = 11 \) см и \( b = 9 \) см, или наоборот.
Теперь найдем углы. Из условия известно, что разность углов \( |\alpha - \beta| = 120^\circ \). Параллелограммы имеют противоположные углы равными, поэтому, если обозначим \(\alpha = x\) и \(\beta = x - 120^\circ\) (или \(\beta = x + 120^\circ\)), можем записать:
\[ x + (x - 120^\circ) = 180^\circ \implies 2x - 120^\circ = 180^\circ \implies 2x = 300^\circ \implies x = 150^\circ \]
Тогда \(\alpha = 150^\circ\) и \(\beta = 30^\circ\).
Площадь параллелограмма можно найти по формуле: \[ S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha) \]
Так как угол \( \alpha = 150^\circ \), то \( \sin(150^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \).
Теперь подставим значения в формулу: \[ S = 11 \cdot 9 \cdot \sin(150^\circ) = 11 \cdot 9 \cdot \frac{1}{2} = 49.5 \, \text{см}^2 \]
Таким образом, площадь параллелограмма равна \( 49.5 \, \text{см}^2\).
