Для решения задачи необходимо использовать эффекты относительности, в частности, сокращение длины в специальной теории относительности.
Обозначим:
- ( L_0 ) — собственная длина стержня (длина в системе отсчета, связанной со стержнем).
- ( L ) — измеренная длина стержня в системе отсчета, связанной с линейкой.
- ( v ) — скорость стержня относительно линейки.
- ( c ) — скорость света.
Из условия задачи мы имеем:
- Когда мы фиксируем положение концов стержня в системе отсчета линейки, длина стержня (измеренная длина) равна ( L = 18 ) см.
- Когда фиксируем положение концов стержня в системе отсчета, связанной со стержнем, разность отсчётов по линейке получается как ( L' = L_0 / \sqrt{1 - v^2/c^2} ).
Согласно эффекту сокращения длины, длина стержня, измеренная в системе отсчета, движущейся относительно него, дается формулой:
[
L = L_0 \sqrt{1 - v^2/c^2}
]
Так как мы знаем ( L ) и знаем, что в системе отсчета стержня длина измеряется как ( L' = 54 ) м, приводим ( L' ) к см:
[
L' = 5400 , \text{см}
]
То есть две ситуации можно описать как:
- ( L = 18 , \text{см} = L_0 \sqrt{1 - v^2/c^2} )
- ( L' = 54 , \text{м} = L_0 / \sqrt{1 - v^2/c^2} = 5400 , \text{см} )
Теперь из первого уравнения выразим ( L_0 ) и ( v^2/c^2 ):
[
L_0 = \frac{L}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \Leftrightarrow L^2(1 - v^2/c^2) = L_0^2
]
Таким образом получаем:
[
L_0 = L \cdot \frac{5400 , \text{см}}{18 , \text{см}} \Rightarrow L_0^2 = (18 , \text{см})^2 \cdot 300 = 32400 \cdot 300 = 9720000
]
Теперь находим:
[
L_0 = \sqrt{9720000} \approx 3119 , \text{см} , \text{или} , 31.19 , \text{м}
]
Окончательно, собственная длина стержня составляет примерно 31.19 метра.
