Чтобы решить уравнение ( 9^x - 8 \cdot 3^x - 9 = 0 ), сначала обратим внимание на то, что ( 9^x ) можно выразить как ( (3^2)^x = (3^x)^2 ). Обозначим ( y = 3^x ). Тогда уравнение можно переписать следующим образом:
[
y^2 - 8y - 9 = 0
]
Теперь это квадратичное уравнение можно решить с помощью формулы для квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ):
[
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
В нашем случае ( a = 1 ), ( b = -8 ), и ( c = -9 ). Подставим эти значения в формулу:
[
y = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9)}}{2 \cdot 1}
]
Решим подкоренное выражение:
[
y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{8 \pm 10}{2}
]
Теперь у нас есть два решения:
- ( y = \frac{18}{2} = 9 )
- ( y = \frac{-2}{2} = -1 )
Так как ( y = 3^x ) и ( 3^x ) не может быть отрицательным, мы игнорируем ( y = -1 ).
Теперь находим ( x ):
[
3^x = 9
]
Поскольку ( 9 = 3^2 ), мы можем записать:
[
3^x = 3^2
]
Следовательно, ( x = 2 ).
Таким образом, решением уравнения ( 9^x - 8 \cdot 3^x - 9 = 0 ) является ( x = 2 ).
