Каково число натуральных чисел, не превосходящих 651 и взаимно простых с 10?
Для решения данной задачи нужно найти количество натуральных чисел, не превосходящих 651 и взаимно простых с 10. Взаимная простота чисел означает, что их наибольший общий делитель (НОД) равен 1.
Число 10 имеет простые множители 2 и 5. Таким образом, натуральное число, которое взаимно просто с 10, не должно делиться ни на 2, ни на 5.
Чтобы найти количество натуральных чисел, не превышающих 651 и не делящихся на 2 и 5, можно воспользоваться методом включения-исключения.
Количество чисел от 1 до 651: \[ N = 651 \]
Числа, делящиеся на 2: Чтобы подсчитать числа, делящиеся на 2, находим максимальное целое число, делящее 651 на 2: \[ \left\lfloor \frac{651}{2} \right\rfloor = 325 \]
Числа, делящиеся на 5: Аналогично, находим количество чисел, делящихся на 5: \[ \left\lfloor \frac{651}{5} \right\rfloor = 130 \]
Числа, делящиеся на 10 (общее кратное 2 и 5): Учитываем числа, делящиеся на 10: \[ \left\lfloor \frac{651}{10} \right\rfloor = 65 \]
Теперь применим формулу включения-исключения для подсчета чисел, делящихся на 2 или 5: \[ A \cup B = A + B - A \cap B \] где:
- \(A\) — числа, делящиеся на 2 (325),
- \(B\) — числа, делящиеся на 5 (130),
- \(A \cap B\) — числа, делящиеся на 10 (65).
Таким образом: \[ N_{2 \cup 5} = 325 + 130 - 65 = 390 \]
Теперь вычтем это количество из общего числа: \[ N_{\text{взаимно простые}} = N - N_{2 \cup 5} = 651 - 390 = 261 \]
Итак, число натуральных чисел, не превосходящих 651 и взаимно простых с 10 равно 261.
