Найти наибольшее K, для которого 281! делится на 21^К

Чтобы найти наибольшее значение \( K \), для которого \( 281! \) делится на \( 21^K \), нужно сначала разложить 21 на простые множители. Мы видим, что: \[ 21 = 3 \times 7 \] Это означает, что необходимо найти наибольшее значение \( K \), такое что \( 281! \) делится как на \( 3^K \), так и на \( 7^K \). Для этого мы сначала определим количество раз, которое \( 3 \) и \( 7 \) содержатся в разложении \( 281! \). Чтобы найти количество простого числа \( p \) в факториале \( n! \), мы используем формулу: \[ \sum_{i=1}^{\infty} \left\lfloor \frac{n}{p^i} \right\rfloor \] Для \( 3 \): \[ \left\lfloor \frac{281}{3} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{281}{3^2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{281}{3^3} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{281}{3^4} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{281}{3^5} \right\rfloor \] Вычисляем: \[ \left\lfloor \frac{281}{3} \right\rfloor = 93 \] \[ \left\lfloor \frac{281}{9} \right\rfloor = 31 \] \[ \left\lfloor \frac{281}{27} \right\rfloor = 10 \] \[ \left\lfloor \frac{281}{81} \right\rfloor = 3 \] \[ \left\lfloor \frac{281}{243} \right\rfloor = 1 \] Теперь суммируем все значения: \[ 93 + 31 + 10 + 3 + 1 = 138 \] Теперь найдём количество \( 7 \): \[ \left\lfloor \frac{281}{7} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{281}{7^2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{281}{7^3} \right\rfloor \] Вычисляем: \[ \left\lfloor \frac{281}{7} \right\rfloor = 40 \] \[ \left\lfloor \frac{281}{49} \right\rfloor = 5 \] \[ \left\lfloor \frac{281}{343} \right\rfloor = 0 \] Теперь суммируем: \[ 40 + 5 + 0 = 45 \] Сравниваем количество множителей \( 3 \) и \( 7 \): - \( 3^{138} \) - \( 7^{45} \) Для того чтобы \( 21^K \) делилось на \( 281! \), \( K \) должно быть меньше или равно меньшему из значения доходящего до \( K \): \[ K \leq \min(138, 45) = 45 \] Следовательно, наибольшее \( K \) для которого \( 281! \) делится на \( 21^K \) равно: \[ \boxed{45} \]