найти наибольшее K, для которого 281! делится на 21^К

Чтобы найти наибольшее значение \( K \), для которого \( 281! \) делится на \( 21^K \), нужно сначала разложить 21 на простые множители. Мы видим, что:

\[ 21 = 3 \times 7 \]

Это означает, что необходимо найти наибольшее значение \( K \), такое что \( 281! \) делится как на \( 3^K \), так и на \( 7^K \). Для этого мы сначала определим количество раз, которое \( 3 \) и \( 7 \) содержатся в разложении \( 281! \).

Чтобы найти количество простого числа \( p \) в факториале \( n! \), мы используем формулу:

\[ \sum_{i=1}^{\infty} \left\lfloor \frac{n}{p^i} \right\rfloor \]

Для \( 3 \):

\[ \left\lfloor \frac{281}{3} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{281}{3^2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{281}{3^3} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{281}{3^4} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{281}{3^5} \right\rfloor \]

Вычисляем:

\[ \left\lfloor \frac{281}{3} \right\rfloor = 93 \] \[ \left\lfloor \frac{281}{9} \right\rfloor = 31 \] \[ \left\lfloor \frac{281}{27} \right\rfloor = 10 \] \[ \left\lfloor \frac{281}{81} \right\rfloor = 3 \] \[ \left\lfloor \frac{281}{243} \right\rfloor = 1 \]

Теперь суммируем все значения:

\[ 93 + 31 + 10 + 3 + 1 = 138 \]

Теперь найдём количество \( 7 \):

\[ \left\lfloor \frac{281}{7} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{281}{7^2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{281}{7^3} \right\rfloor \]

Вычисляем:

\[ \left\lfloor \frac{281}{7} \right\rfloor = 40 \] \[ \left\lfloor \frac{281}{49} \right\rfloor = 5 \] \[ \left\lfloor \frac{281}{343} \right\rfloor = 0 \]

Теперь суммируем:

\[ 40 + 5 + 0 = 45 \]

Сравниваем количество множителей \( 3 \) и \( 7 \):

• \( 3^{138} \)
• \( 7^{45} \)

Для того чтобы \( 21^K \) делилось на \( 281! \), \( K \) должно быть меньше или равно меньшему из значения доходящего до \( K \):

\[ K \leq \min(138, 45) = 45 \]

Следовательно, наибольшее \( K \) для которого \( 281! \) делится на \( 21^K \) равно:

\[ \boxed{45} \]